Podaire et circonpédal
Bonjour à tous
$DEF$ est le triangle podaire de $P$ relat. à $ABC$, et $LMN$ le triangle circonpédal (circumpodaire ferait penser à la navigation autour d'un pôle).
On sait que ces 2 triangles sont semblables (cf Lalesco §5.48).
Est-ce que :
1/ $I$ centre du cercle inscrit dans $ABC$ est le seul point pour lequel les 2 triangles sont homothétiques, ou perspectifs, l'un entraînant l'autre ? (le cercle inscrit dans $ABC$ est le circonscrit à $DEF$, et $I$ est l'orthocentre de $LMN$)
2/ $I$ est aussi le point où le ratio Aire($LMN$)/Aire($DEF$) est maximal ?
n.b. je suis comme Jean-Louis Aymé : j'adore les preuves synthétiques. Mais le lieu du centre de perspective quand $A$ décrit le cercle $ABC$ supposé fixe est une "patate écrasée" qui n'est probablement accessible que par le calcul.
$DEF$ est le triangle podaire de $P$ relat. à $ABC$, et $LMN$ le triangle circonpédal (circumpodaire ferait penser à la navigation autour d'un pôle).
On sait que ces 2 triangles sont semblables (cf Lalesco §5.48).
Est-ce que :
1/ $I$ centre du cercle inscrit dans $ABC$ est le seul point pour lequel les 2 triangles sont homothétiques, ou perspectifs, l'un entraînant l'autre ? (le cercle inscrit dans $ABC$ est le circonscrit à $DEF$, et $I$ est l'orthocentre de $LMN$)
2/ $I$ est aussi le point où le ratio Aire($LMN$)/Aire($DEF$) est maximal ?
n.b. je suis comme Jean-Louis Aymé : j'adore les preuves synthétiques. Mais le lieu du centre de perspective quand $A$ décrit le cercle $ABC$ supposé fixe est une "patate écrasée" qui n'est probablement accessible que par le calcul.
Réponses
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Bonjour Ludwig
Je crois que la "patate" est composée de 2 arcs d'ellipse qui se raccordent tangentiellement au cercle ($ABC$) en $B$ et $C$, et que c'est lié au fait que le lieu de $I$ est composé lui de 2 arcs de cercle.
$X56$ est le milieu de $I - X46$ (vu dans ETC) mais le lieu de $X46$ semble de degré 4, et je m'y perds dans la définition de $X46$.
Cordialement
PL -
Peut-être faut-il simplement envisager deux cas, selon l'arc $BC$ auquel appartient le point $A$.
-
Exactement.
Mais ne pas oublier les questions initiales.
Bonne nuit -
Bonjour
En ce qui concerne la question $1)$ de PGL@R92, je suggère de regarder Cubique de Mac Cay, plus précisément la propriété 6 des Locus properties.
Bien cordialement. Poulbot
PS : Comment éliminer cette barre verticale parasite ?
[Pour les barres verticales avec MacOS voir http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?32,1204455,1209141#msg-1209141 AD] -
Merci AD
Très cordialement. Poulbot
[À ton service. :-) AD] -
Un grand merci Poulbot,
Les propriétés de la cubique de Mac Cay sont très impressionnantes! Il faudrait plusieurs vies pour étudier le tout.
Cordialement
PL
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Bonjour!
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