Petite aide sur les cordes conjuguées
Bonjour, désolé de cette demande honteuse, mais je mélange mes crayons.
Soit une parabole et un point P.
Je trace le diamètre PA; la corde BPB' est bien conjuguée à ce diamètre ( conjugué du pont à l'infini, etc...)..Les cordes PA et PBB' sont conjuguées et sécantes en P.Je pense que j'ai le droit de le dire..
Maintenant je prends la corde CD qui passe par P aussi.
Que veut dire:" une corde conjuguée à CD passant par P" ?
1°) La direction conjuguée de la direction de la corde est elle de l'axe focal. Pour répondre à la question je trace donc la parallèle à l'axe focal par P, qui me redonne PA.
2°) Je cherche si P est le milieu de CD et dans la négative, je dis que cette pauvre corde n'a pas de conjuguée passant par P...
L'application de la relation de conjugaison harmoniques des pentes entre deux droites conjuguées par rapport à un conique dont l'asymptote t=0 est double donne mm'=0.
La notion de cordes passant par un point et conjuguées n'est donc pas aussi simple que dans le cas des coniques à centre. Dans un couple de droites conjuguées, il y en a une parallèle à l'axe focal.
Pas de problème: ce qui me gêne c'est que je n'arrive pas appliquer à la parabole la propriété : étant donné une conique et un point P, quel est le lieu des points T d'où l'on peut tirer deux tangentes en To et T1 telles que les cordes PT0 et PT1soient conjuguées.
Merci de votre aide compréhensive.
Cordialement.
Mathisse
PJ: figure
Soit une parabole et un point P.
Je trace le diamètre PA; la corde BPB' est bien conjuguée à ce diamètre ( conjugué du pont à l'infini, etc...)..Les cordes PA et PBB' sont conjuguées et sécantes en P.Je pense que j'ai le droit de le dire..
Maintenant je prends la corde CD qui passe par P aussi.
Que veut dire:" une corde conjuguée à CD passant par P" ?
1°) La direction conjuguée de la direction de la corde est elle de l'axe focal. Pour répondre à la question je trace donc la parallèle à l'axe focal par P, qui me redonne PA.
2°) Je cherche si P est le milieu de CD et dans la négative, je dis que cette pauvre corde n'a pas de conjuguée passant par P...
L'application de la relation de conjugaison harmoniques des pentes entre deux droites conjuguées par rapport à un conique dont l'asymptote t=0 est double donne mm'=0.
La notion de cordes passant par un point et conjuguées n'est donc pas aussi simple que dans le cas des coniques à centre. Dans un couple de droites conjuguées, il y en a une parallèle à l'axe focal.
Pas de problème: ce qui me gêne c'est que je n'arrive pas appliquer à la parabole la propriété : étant donné une conique et un point P, quel est le lieu des points T d'où l'on peut tirer deux tangentes en To et T1 telles que les cordes PT0 et PT1soient conjuguées.
Merci de votre aide compréhensive.
Cordialement.
Mathisse
PJ: figure
Réponses
-
Mon cher Mathisse
Les notions de points conjugués ou de droites conjuguées appartiennent à la théorie des coniques projectives.
Rien de bien sorcier à condition évidemment de connaitre leurs définitions.
Ci-dessous la configuration projective, archiconnue autrefois, que tu dois prouver.
Bon courage!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonne Nuit et faites de beaux rêves
Et voici ce que cela donne pour une parabole du plan affine.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour à tous
Et quel est le groupe un peu tristounet qui se cache derrière cette configuration?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Mon cher Mathisse
Rien que de lire:
L'application de la relation de conjugaison harmoniques des pentes entre deux droites conjuguées par rapport à un conique dont l'asymptote t=0 est double donne mm'=0.
me remplit d'une certaine mélancolie à défaut de me faire rire!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Mon cher Mathisse
Regarde ton problème final:
étant donné une conique et un point P, quel est le lieu des points T d'où l'on peut tirer deux tangentes en To et T1 telles que les cordes PT0 et PT1soient conjuguées.
C'est un énoncé de géométrie projective.
Or tu mélanges la notion de directions conjuguées qui est affine avec la notion de droites conjuguées qui est projective.
Et c'est pourquoi tu nous racontes n'importe quoi!
Ce n'est pas ta faute mais celle de ceux qui ont supprimé la géométrie de nos programmes!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Soit $D\ $ la droite d'équation: $y=mx+h\ $ et $D'\ $ la droite d'équation: $y=m'x+h'.\qquad$
A quelle condition ces deux droites sont-elles conjuguées par rapport à la parabole d'équation $y^2-2px=0?\qquad$ -
Merci de votre diligence.
Bien sûr j'ai unep problème de définition...et je n'en sors pas.
Soit la conique Y2-2pXZ=0 dans l'espace réel projectif.
Deux éléments de P(R3) sont conjugués quand YoY1-p(X0Z1+X1Zo)=0.
Je cherche le lieu des points T(X,Y),Z) d'où l'on peut tracer des tangentes qui coupent la conique en T1 et To tels que les cordes PT1 et PTo soient conjuguées.
Je l'ai trouvé facilement (dans le plan affine) pour les coniques à centre et on obtient une conique homothétique, les deux coniques étant conjuguées par rapport à une infinité de quadrilatères.On peut par exemple passer par le cercle et l'hyperbole équilatère, et par affinité et homothétie.
Dans la carte affine où Z=O est la droite de l'infini, la courbe est une parabole.
Soit P(s,t,) à distance finie.
To et T1 sont à à distance finie.
La relation de conjugaison s'écrit (t-yo)(t-y1)-p(2s-(x0+x1))=0. (1)
La polaire de T est yY-p(x+X)=O. (2)
To et T1 appartiennent à la parabole donc y2-2px=O. pour x=x0 ou x1 et y=y0 ou y1.(3).
En résolvant les 3 équations, on trouve le lieu de T.
En fait, c'est faux, mais je n'arrive pas à trouver pourquoi....Mais ce que j'ai fait sur les coniques à centre est peut-être faux aussi, car j'obtiens des coniques de même nature alors que Pappus trouve une hyperbole pour une parabole..il est vrai que la transformation d'un cercle (rayon p, centre F)en parabole par homologie (axe -2p) ne conserve pas le birapport des points à l'infini...
Merci de votre aide !
Cordialement.
Mathisse -
Je réponds seulement à votre figure du cas général.J'ai ajouté des points sur votre fichier.
La conique est invariante pa une homologie de point fixe P et d'axeD la polaire de P, qui sont fixes.
La tangente QA devient la tangente QA', RB devient RB'.
L'intersection K des deux premières devient M.
Chaque pivotement autour de P génère deux points homologues d'une même homologie. ils sont donc sur une conique, dans la quelle P est le pôle de D.
Je pense que ce n'est pas la "solution" que vous attendiez si c'en est une....
Je vous remercie de bien vouloir regarde mon calcul du fil précédent.Vous avez bien raison sur la confusion que je fais, mais je me mélange dans l'application pratique...
[Contenu du pdf joint. AD] -
Stop !!!
J'ai compris mon erreur.
Je refais tous les calculs en essayant de traiter les trois cas en un.
Ma réponse avec l’homologie est elle juste ? -
J'ai tout faux en effet, je vais recommencer et mettrai au propre sur un nouveau fil. Pour répondre à ta question:
la conjugaison s'écrit mh'+m'h+p=o (équation tangentielle) et si les droites sont assujetties à passer par (a,b), on peut calculer les droites, qui sont en involution:
2amm'-b(m+m')+p=O et 2hh'+b(h+h')+ap=0
Merci et à bientôt j'espère
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 5
+4 Invités