Calcul des angles d'Euler

paul18
paul18
dans Géométrie
Bonjour,

Pas sûr d'être dans la bonne section, mais je tente le coup : classiquement, connaissant les angles $ \left( \alpha , \beta, \gamma \right) $, on applique les matrices de transformation $ R_x, R_y, R_z $ pour recalculer la position d'un nouveau points (par exemple).

Je souhaite faire ici la démarche inverse, c'est-à-dire calculer (programmer en fait) les valeurs des 3 angles pour qu'un vecteur quelconque coïncide avec 1 des 3 vecteurs unitaires - $\overrightarrow{k}$ par exemple ; c'est a priori simple, mais je ne trouve pas les matrices correspondantes : dans quelle(s) direction(s) me faut-il chercher ?
Merci par avance.

Réponses

  • AlainLyon
    AlainLyon
    Bonjour, ai-je bien compris? Tu as un triangle dans un plan de $\mathbb{R}^3$?
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonjour,

    Sois bien clair : si tu parles des angle d'Euler classiques (précession, nutation, rotation propre), c'est pour une suite de rotations $R_z$, $R_x$, $R_z$. C'est bien de cela que tu parles ?
  • paul18
    paul18
    Bonsoir,

    A GabuZoMeu : oui c'est bien ça

    En bon français, j'ai un vecteur quelconque $ \overrightarrow{n} = \left( u, v, w \right) $ et je cherche à calculer les angles d'Euler qui, après rotations (on considèrera le centre à l'origine), rendent ce vecteur colinéaire à 1 des vecteurs unitaires ; je choisis $\overrightarrow{k} $ mais ça pourrait aussi bien être $ \overrightarrow{i} $ ou $ \overrightarrow{j} $.

    Merci
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonsoir,

    Supposons $\vec n$ unitaire. Pour amener $\vec n$ sur $\vec k$, tu commences par amener $\vec n$ dans le plan $yOz$ par une rotation d'axe $Oz$ et d'angle $\psi$, et ensuite tu le fais coïncider avec $\vec k$ par une rotation d'axe $Ox$ et d'angle $\theta$

    $\psi$ et $\theta$ sont donnés par le fait que $\vec n=\begin{pmatrix} \sin\psi\,\sin\theta\\\cos\psi\,\sin\theta\\\cos\theta\end{pmatrix}$, si je ne me suis pas fichu dedans dans les signes.
  • paul18
    paul18
    Bonsoir,

    Désolé pour cette réponse tardive, mais je n'ai guère eu de temps ces dernier jours.

    Je salue toute aide, mais comme je l'ai dit, ce sont les angles que je cherche à calculer de façon à ce que $ \overrightarrow{n} = \left( u, v, w \right) $ devienne $ \overrightarrow{k} $.

    J'ai trouvé ici et là une première piste, bien que le site soit déjà un peu ancien ; il y est fait mention des "quaternions" (notion qui m'est toutefois complètement étrangère) : de belles suées en perspective :-D
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonsoir,

    Tu ne t'es pas rendu compte que je t'ai écrit comment trouver les angles.

    Tu connais les coordonnées de $\vec n = (u,v,w)$ Les angles $\psi$ et $\theta$ sont donnés par

    $$u=\sin \psi\,\sin \theta,\ v= \cos \psi\,\sin\theta, \ w=\cos\theta\;.$$
  • paul18
    paul18
    effectivement le lien ne m'a pas sauté aux yeux :-D
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