Décomposition d'une translation

mehdi2625 · June 2021

Bonjour à tous
Dans une démonstration, on se place dans le plan affine et on affirme que la translation t_j² est engendrée par la translation t₁ et la rotation de centre O et d'angle 2pi/3. Comment le justifier ? Sachant qu'on s'intéresse particulièrement au pavage :
- A = 2 Z + 2 j² Z
- B = 1 + A
- C = j² + A
- D = 1 + j² + A

Merci d'avance pour votre aide.

gerard0 · June 2021

Bonjour.

J'imagine qu'on est dans le plan euclidien, pas affine. D'autre part, que veut dire ce "et" ? S'agit-il d'une composition ? mais alors c'est faux. Tu peux le voir facilement à partir des complexes. Ne serait-ce pas une surinterprétation d'une phrase qu'on n'a pas ?

Cordialement.

mehdi2625 · June 2021

Merci pour votre réponse.

C'est cela oui, ils affirment que t_j² est dans le groupe G = < t₁ ; r_O,2pi/3 ; s_Ox > où s_Ox est la symétrie d'axe Ox, ils précisent ensuite que c'est la rotation et la translation qui l'engendrent. Effectivement, j'ai vérifié avec les complexes mais j'avais l'impression de passer à côté de quelque chose. Cette translation n'est donc pas dans G ?

Cordialement.

gerard0 · June 2021

Je me demande si je comprends bien tes notations :
$t_1$ est-il bien la translation de 1 vers la droite parallèlement à l'axe des x ? Si ce n'est pas ça, on ne peut pas deviner ce qui est noté $t_1$.
En tout cas, la composée d'une translation et d'une rotation d'angle différent de $k 2\pi$ n'est pas une translation.

Attention, je parle de tous les points du plan (c'est ce que dit ton message). Pour des points particuliers, la situation est différente. Ce qui est faux en général peut être vrai pour les sommets du pavage.

mehdi2625 · June 2021

Oui c'est bien cette translation. Je viens de recevoir une réponse: t_j² = r_O,2pi/3 o t₁ o (r_O,2pi/3)^-1. Merci pour ton aide.

gerard0 · June 2021

Ah d'accord ! Il ne s'agit pas d'un composé simple, mais du groupe engendré, je n'avais pas percuté, j'étais resté sur ton premier message.

pappus · June 2021

Bonsoir à tous
En général, on a un groupe $G\ $ et un système de générateurs et on décompose un élément quelconque du groupe $G$ en un produit fini de ces générateurs. Ce n'est parfois pas facile!
Ce n'est pas le cas ici, on ne peut pas vraiment parler d'une décomposition mais d'un simple calcul de conjugué!
Amicalement
[small]p[/small]appus

mehdi2625 · June 2021

Bonsoir,
Je vois oui, merci pour la précision.
Amicalement.

Mehdi

Décomposition d'une translation

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 26