Possibilité d'une trisection

Bonjour Ludwig, c'est une trisection mais pas très profonde pour l'être, je voulais dire qu'on passe par deux milieux pour arriver et donc en calcul ce n'est pas compliqué, si $(d_i)$ sont les droites de pentes $\tan(\alpha_i)=a_i$ avec $\alpha_i$ en ordre croissant, on aura à vérifier le système $\begin{cases}a_2=\dfrac{2a_1a_3-(a_1+a_3)x}{a_1+a_3-2x}\\a_3=\dfrac{2a_2a_4-(a_2+a_4)x}{a_2+a_4-2x}\end{cases}$ Le nombre $x$ est la pente de la droite orange candidate pour le troisième côté. Il y a un argument de faire tourner en cycle les pentes ici j'ai commencer par $a_1$ dans un repère orthonormal donné de centre $O$.
La preuve de la pente médiane ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2237334,2239206#msg-2239206.

Cordialement.

En fait, je ne vois pas pourquoi aller chercher des angles ou des pentes.

1) Condition. Soit $(d')$ la parallèle à $(d_4)$ passant par $A_2$. Soit $A'_1$ (resp. $A'_3$) son intersection avec $(d_1)$ (resp. $(d_3)$).
Le faisceau testé est du type qui t'intéresse si et seulement si $$\dfrac{A_2A'_1}{A_2A'_3}=3^{\pm1}$$

2) Construction. Un truc dans ce goût-là ? (Sais toujours pas.)

Amicalement,
Swingmustard

Bonjour ludwig,
Pardon de ne pas expliquer assez le birapport. D'autres sources le feront mieux que moi, mais je t'assure que c'est le meilleur outil pour tes questions.
1) Tu demandais une condition : sur ton dessin, tu viens de tracer deux belles parallèles à l'une des droites du faisceau : la droite $(d_2)$. Comme annoncé, ton dessin fonctionne parce que, sur celle passant par $A_3$ par exemple,
$$\dfrac{A'_4P}{A'_4A_3}=3$$
en appelant $A'_4$ le point d'intersection de ta parallèle avec $(d_4)$.
2a) Tu crois que ma construction oublie $(d_2)$. Ce n'est pas le cas, et tu avais bien posé le problème en séparant Condition, puis Construction : dès lors que le faisceau est de ce type, $(d_2)$ est embarquée avec les autres, donc n'est pas oubliée.

Spoiler : je suis content de ce qui précède. En revanche, même si ce qui suit fonctionne, c'est bien maladroit. Passer au message suivant...

2b) Presque la même construction, toujours basée sur l'idée de birapport lu sur une parallèle, du coup il devient un simple rapport, car tu envoies le quatrième point à l'infini, ce qui rend le deuxième rapport égal à 1.
D'un point quelconque de $(d_2)$, nous traçons une parallèle à $(d_1)$ et une parallèle à $(d_4)$.
Nous avons formé un parallélogramme dont $(d_2)$ est la diagonale (donc tu diras que j'oublie $(d_3)$, et je répondrai "Non non... Elle est prise en compte dans la condition (1)" ;-)).
Alors, dans le triangle formé par $(d_1)$, $(d_4)$ et l'autre diagonale de ce parallélogramme, la direction que tu cherches est donnée par la médiane issue du sommet sur $(d_4)$.
En tout cas merci pour le problème !
Amicalement,
Swingmustard

@Ludwig c'est l'égalité du système, et ici c'est un seul $x$, on a commencé $d_1,d_2,d_3,d_4$ où j'ai supposé $d_2$ et $d_3$ médiane. Il faut faire le tour $4$ fois, en commençant par $d_2$ et alors $d_3$ et $d_4$ seront médiane etc donc le si et seulement si d'existence est à vérifier pour quatres systèmes-équations.

Bonjour, c'est la même chose disons $(d_i), i=1\ldots n$ (dans l'exemple du post $n=4$ donnant trois parties égales), j'ai noté $a_i=\tan(\alpha_i)$ où les angles sont en ordre croissant dans $[0;2\pi]$, on aura à vérifier qu'un seul $x$ (pente) existe verifiant $n-2$ équations. Puis on tourne en cycle pour avoir $n$ systèmes chacun à $n-2$ équations pour trouver la pente $x$ possible. NB. Je n'ai pas tous écris mais sa semble le point pour répondre justement.

Une droite verticale a une pente comme une limite infini.
On peut donner plein d'exemples numériques pour être clair...