Un quadrilatère cyclique
dans Géométrie
Bonjour,
Un problème personnel apparemment difficile…
1. ABCD un carré
2. E un point de [AD]
3. F le point d'intersection de la parallèle à (EB) issue de D avec (BC)
4. G le point d'intersection de (AF) et (CD)
5. H le point d'intersection de (EG) et (BC)
6. X le point d'intersection de (BE) et (AH).
Question : le quadrilatère ECHX est cyclique.
Merci A.D. pour votre aide.
Sincèrement
Jean-Louis.
Un problème personnel apparemment difficile…
1. ABCD un carré
2. E un point de [AD]
3. F le point d'intersection de la parallèle à (EB) issue de D avec (BC)
4. G le point d'intersection de (AF) et (CD)
5. H le point d'intersection de (EG) et (BC)
6. X le point d'intersection de (BE) et (AH).
Question : le quadrilatère ECHX est cyclique.
Merci A.D. pour votre aide.
Sincèrement
Jean-Louis.
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Réponses
$EHBA$ un trapèze droit comme donner sur la figure précédente.
Ses diagonales se coupent en $X$,
Soit $(C)$ le cercle circonscrit à $EHX$.
Si $C\in [BH)$ avec $CB=AB$
Donner la condition nécessaire et suffisante pour que $C\in (C)$ et on devrait trouver la condition des longueurs déjà au début. Désolé si je suis lourd (les intuitions). Cordialement.
Avec des nombres complexes: Cordialement,
Rescassol
je ne sais pas si votre message s'adresse à ma personne...cependant, il me semble ne pas comprendre votre démarche...
Sincèrement
Jean-Louis
Si jamais voilà la question (vous pouvez l'ignorer..)
$EHBA$ un trapèze droit donné tel dans la figure.
$[EB]$ et $[AH]$ se coupent en $X$.
$(C)$ le cercle circonscrit à $EXH$ quel est la condition pour que $(C)$ passe par $C$ avec $CB=AB$, ($C\in [BH)$).
La condition trouvé en est que $CH=f(DE)$ ($ABCD$ carré) d'une fonction $f$ particulière, cette valeur en est la même obtenu par ta construction du point $G$.
Edit pour compléter ces calculs, donc dans le repère orthonogonal $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$ avec $AB=AD=BC=10$, $E=(0,a)$, $C=(10,10),$ $H=(10,b)$ et $X=(\dfrac{10a}{a+b},\dfrac{ab}{a+b})$. Vous trouvez que le centre du cercle circonscrit à $ECH$ en est $N=(\dfrac{ba+100-a^2-10b+10a}{20},5+b/2)$. Enfin verifiant que $X$ passe par ce cercle vous tirer $b$ en fonction de $a$, voir le calcul. Cette valeur est la même obtenue par la construction de Jean louis, $CH=|b-10|$ et $DE=|10-a|$.
merci pour votre réponse...
Un schéma de preuve (début)
1. (CE) // (AF)
2. le quadrilatère HXYF est cyclique (pas évident à priori) (Y point d'intersection de (BE) et (AF))
3. and we are done...
Sincèrement
Jean-Louis
Voici des observations sans preuve formelle.
(AXK) : centre R sur AB
(AFH) coupe AD en I, commun avec (ECH) et (EKF)
- coupe AB en S commun avec (AXK)
- coupe EB en P et Q communs avec (A, AP) (pointillés) qui est orthogonal à (KFH), (KFE) et (ECH)
X est l'intersection de 2 axes radicaux (AXK)/(KFH) et (ECH)/(KFH)
La lumière jaillira peut-être !
Amicalement
Pierre
Pour la cocyclité de $H,X,Y,F$, il suffit de rajouter ce bout de code à la fin de mon code précédent: Quand $E$ décrit $(AD)$, le point $Y$ décrit une parabole passant par $A$ et $B$ dont une équation est $(z+\overline{z})^2 - 4i(z-\overline{z}) + 4 = 0$ (ou en cartésiennes: $x^2 + 2y + 1 = 0$).
Ci-joint une figure et le fichier Géogébra où on peut bouger $E$ sur $(AD)$.
On peut aussi vérifier sur Géogébra l'exactitude des différents points calculés.
Cordialement,
Rescassol
La lumière est venue de l'inversion !
Dans l'inversion de centre $A$ qui échange $K$ et $F$, $B'$ est l'image de $B$ et $E'$ celle de $E$.
Le cercle $(AB'FE')$ est l'image de $EB$ ( verts ),
les cercles $(EKF)$ et $(KFH)$ sont invariants puisqu'ils passent par les points homologues $K$ et $F$.
Donc $X$ est l'image de $H$.
Le cercle $(EXH)$ est aussi invariant ( points homologues $X$ et $H$ ).
On a $BK \times BX = BF \times BH$ ( puissances de $B$ ),
et $\dfrac{BK}{BE} = \dfrac{BF}{BC}$ ( $AF$ parallèle à $EC$ ).
Donc $BE \times BX = BC \times BH \qquad \rightarrow \qquad E, X, H,$ et $C$ co-cycliques.
Amicalement
Pierre
merci pour votre preuve basée sur l'inversion...
En fait, tout provient de l'égalité <AHB = <DFA qui m'a permise de présenter ce problème...
Sincèrement
Jean-Louis
En laissant libre le point E sur sa droite (AD), mon logiciel indique que le lieu du point X est une cubique d’équation x3 + xy² -2x² + xy +x -y = 0 dans le repère (A ; B, D).
Quelle relation entre X et Y ?
Je ne vois pas quelle relation tu vois entre $X$ et $Y$.
J'ai déjà donné le lieu de $Y$.
Le lieu de $X$ a pour équation complexe:
$z^2\overline{z} + z\overline{z}^2 - (1+2i)z^2 - (1-2i)\overline{z}^2 + 2z + 2\overline{z} =0$
ou en cartésiennes $x^3 + xy^2 - x^2 + 4xy + y^2 + 2x = 0$.
Cordialement,
Rescassol
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Miniatures Geometriques addendum XII.pdf p. 34...
Sincèrement
Jean-Louis