Un quadrilatère cyclique

Bonsoir,

Avec des nombres complexes:

% Jean-Louis Ayme - 15 Juin 2021 - Un quadrilatère cyclique

clear all, clc

a=-1-1i; % Un carré ABCD
b=1-1i;
c=1+1i;
d=-1+1i;

aB=d; % Conjugués
bB=c;
cB=b;
dB=a;

%-----------------------------------------------------------------------

syms t real

e=-1+t*i; % Un point E de (AD)
eB=-1-t*i;

% Point d'intersection F de ma parallèle à (EB) passant par D et de (BC)
[p1 q1 r1]=DroiteParallele(d,e,b,dB,eB,bB);
[f fB]=IntersectionDeuxDroites(p1,q1,r1,1,1,-2);
f=Factor(f) % f=1-t*i

% Point d'intersection G de (AF) et (CD)
[paf qaf raf]=DroiteDeuxPoints(a,f,aB,fB);
[g gB]=IntersectionDeuxDroites(paf,qaf,raf,1,-1,-2*i);
g=Factor(g) % g=(t+1+2i)*(-1+i)/(t - 1)

% Point d'intersection H de (EG) et (BC)
[peg qeg reg]=DroiteDeuxPoints(e,g,eB,gB);
[h hB]=IntersectionDeuxDroites(peg,qeg,reg,1,1,-2);
h=Factor(h) % h=(i*t^2+2+i)/2

% Point d'intersection X de (BE) et (AH)
[pbe qbe rbe]=DroiteDeuxPoints(b,e,bB,eB);
[pah qah rah]=DroiteDeuxPoints(a,h,aB,hB);
[x xB]=IntersectionDeuxDroites(pbe,qbe,rbe,pah,qah,rah);
x=Factor(x) % x=i(t-1)*(t-i)/(t+1-2i)

Bi=Birapport(e,c,h,x);
BiB=Birapport(eB,cB,hB,xB);

Nul=Factor(Bi-BiB) % Égal à 0 donc c'est gagné !!...

Cordialement,

Rescassol

Bonjour, en fait oui je voulais poser l'exercice autrement (après vous). L' avantage c'est qu'on divise le problème en deux et en calcul c'est plus direct.
Si jamais voilà la question (vous pouvez l'ignorer..)
$EHBA$ un trapèze droit donné tel dans la figure.
$[EB]$ et $[AH]$ se coupent en $X$.
$(C)$ le cercle circonscrit à $EXH$ quel est la condition pour que $(C)$ passe par $C$ avec $CB=AB$, ($C\in [BH)$).

La condition trouvé en est que $CH=f(DE)$ ($ABCD$ carré) d'une fonction $f$ particulière, cette valeur en est la même obtenu par ta construction du point $G$.

Edit pour compléter ces calculs, donc dans le repère orthonogonal $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$ avec $AB=AD=BC=10$, $E=(0,a)$, $C=(10,10),$ $H=(10,b)$ et $X=(\dfrac{10a}{a+b},\dfrac{ab}{a+b})$. Vous trouvez que le centre du cercle circonscrit à $ECH$ en est $N=(\dfrac{ba+100-a^2-10b+10a}{20},5+b/2)$. Enfin verifiant que $X$ passe par ce cercle vous tirer $b$ en fonction de $a$, voir le calcul. Cette valeur est la même obtenue par la construction de Jean louis, $CH=|b-10|$ et $DE=|10-a|$.

Bonjour Jean-Louis
Voici des observations sans preuve formelle.
(AXK) : centre R sur AB
(AFH) coupe AD en I, commun avec (ECH) et (EKF)
- coupe AB en S commun avec (AXK)
- coupe EB en P et Q communs avec (A, AP) (pointillés) qui est orthogonal à (KFH), (KFE) et (ECH)
X est l'intersection de 2 axes radicaux (AXK)/(KFH) et (ECH)/(KFH)
La lumière jaillira peut-être !
Amicalement
Pierre

Bonjour Jean-Louis,

La lumière est venue de l'inversion !

Dans l'inversion de centre $A$ qui échange $K$ et $F$, $B'$ est l'image de $B$ et $E'$ celle de $E$.

Le cercle $(AB'FE')$ est l'image de $EB$ ( verts ),
les cercles $(EKF)$ et $(KFH)$ sont invariants puisqu'ils passent par les points homologues $K$ et $F$.
Donc $X$ est l'image de $H$.

Le cercle $(EXH)$ est aussi invariant ( points homologues $X$ et $H$ ).
On a $BK \times BX = BF \times BH$ ( puissances de $B$ ),

et $\dfrac{BK}{BE} = \dfrac{BF}{BC}$ ( $AF$ parallèle à $EC$ ).

Donc $BE \times BX = BC \times BH \qquad \rightarrow \qquad E, X, H,$ et $C$ co-cycliques.

Amicalement
Pierre

Remarque :
En laissant libre le point E sur sa droite (AD), mon logiciel indique que le lieu du point X est une cubique d’équation x3 + xy² -2x² + xy +x -y = 0 dans le repère (A ; B, D).

Bonjour,

Je ne vois pas quelle relation tu vois entre $X$ et $Y$.
J'ai déjà donné le lieu de $Y$.
Le lieu de $X$ a pour équation complexe:
$z^2\overline{z} + z\overline{z}^2 - (1+2i)z^2 - (1-2i)\overline{z}^2 + 2z + 2\overline{z} =0$
ou en cartésiennes $x^3 + xy^2 - x^2 + 4xy + y^2 + 2x = 0$.

Cordialement,

Rescassol