Paramétrisation de SO(3)
dans Géométrie
Bonjour,
Je cherche le vecteur rotation instantanée obtenue avec la paramétrisation suivante de $SO(3)$.
On se donne une rotation de référence $R^{ref}$, qu'on écrit aussi comme un repère $\{d_1^{ref},d_2^{ref},d_3^{ref}\}$.
Etant donnée, une rotation $R=\{d_1,d_2,d_3\}$, on définit un repère intermédiaire $R^{int}=\{d_1^{int},d_2^{int},d_3^{int},\}$ tel que $d_3^{int}=d_3$ et $R^{int}=R^{align}R^{ref}$ où $R^{align}$ a pour axe de rotation instantanée (non-normalisé) le produit vectorial entre $d_3^{ref}$ et $d_3$ (elle est parfois appelée "transport parallèle" ou "plus petite rotation" car le passage de $d_3^{ref}$ à $d_3$ se fait en suivant une géodésique de la sphère $S^2$).
Ainsi, on paramétrise $R$ par $(t,\varphi)$ tels que $t=d_3$ et $\varphi$ est l'angle entre $R^{int}$ et $R$ : $R=\exp\big(\varphi S(d_3)\big) R^{int}$ avec $S(d_3)$ la matrice telle que $S(d_3)v=d_3 \times v,\ \forall v\in \mathbb{R}^3$.
Est-ce que quelqu'un saurait déterminer le vecteur rotation instantanée $\delta \phi$ de $R$ en fonction de $(\delta t,\delta \varphi)$, où $\delta \phi $ est de sorte qu'un vecteur tangent s'écrive $\delta R = \delta \phi \times R$ ?
N'hésitez-pas si vous trouvez la question mal posée. Merci d'avance!
Je cherche le vecteur rotation instantanée obtenue avec la paramétrisation suivante de $SO(3)$.
On se donne une rotation de référence $R^{ref}$, qu'on écrit aussi comme un repère $\{d_1^{ref},d_2^{ref},d_3^{ref}\}$.
Etant donnée, une rotation $R=\{d_1,d_2,d_3\}$, on définit un repère intermédiaire $R^{int}=\{d_1^{int},d_2^{int},d_3^{int},\}$ tel que $d_3^{int}=d_3$ et $R^{int}=R^{align}R^{ref}$ où $R^{align}$ a pour axe de rotation instantanée (non-normalisé) le produit vectorial entre $d_3^{ref}$ et $d_3$ (elle est parfois appelée "transport parallèle" ou "plus petite rotation" car le passage de $d_3^{ref}$ à $d_3$ se fait en suivant une géodésique de la sphère $S^2$).
Ainsi, on paramétrise $R$ par $(t,\varphi)$ tels que $t=d_3$ et $\varphi$ est l'angle entre $R^{int}$ et $R$ : $R=\exp\big(\varphi S(d_3)\big) R^{int}$ avec $S(d_3)$ la matrice telle que $S(d_3)v=d_3 \times v,\ \forall v\in \mathbb{R}^3$.
Est-ce que quelqu'un saurait déterminer le vecteur rotation instantanée $\delta \phi$ de $R$ en fonction de $(\delta t,\delta \varphi)$, où $\delta \phi $ est de sorte qu'un vecteur tangent s'écrive $\delta R = \delta \phi \times R$ ?
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Réponses
Je relance cette question ! N'hésitez-pas si vous avez des remarques, des questions, des conseils. Je veux bien prendre toute piste.
Je crois que les gens (moi en tout cas) ne comprennent pas comment un repère correspond à une rotation ou inversement ?
Le repère (orthonormé) est associé à la rotation simplement, car il s'agit des colonnes de la matrice de rotation.