Paramétrisation de SO(3)

Bonjour,

Je cherche le vecteur rotation instantanée obtenue avec la paramétrisation suivante de $SO(3)$.

On se donne une rotation de référence $R^{ref}$, qu'on écrit aussi comme un repère $\{d_1^{ref},d_2^{ref},d_3^{ref}\}$.
Etant donnée, une rotation $R=\{d_1,d_2,d_3\}$, on définit un repère intermédiaire $R^{int}=\{d_1^{int},d_2^{int},d_3^{int},\}$ tel que $d_3^{int}=d_3$ et $R^{int}=R^{align}R^{ref}$ où $R^{align}$ a pour axe de rotation instantanée (non-normalisé) le produit vectorial entre $d_3^{ref}$ et $d_3$ (elle est parfois appelée "transport parallèle" ou "plus petite rotation" car le passage de $d_3^{ref}$ à $d_3$ se fait en suivant une géodésique de la sphère $S^2$).

Ainsi, on paramétrise $R$ par $(t,\varphi)$ tels que $t=d_3$ et $\varphi$ est l'angle entre $R^{int}$ et $R$ : $R=\exp\big(\varphi S(d_3)\big) R^{int}$ avec $S(d_3)$ la matrice telle que $S(d_3)v=d_3 \times v,\ \forall v\in \mathbb{R}^3$.

Est-ce que quelqu'un saurait déterminer le vecteur rotation instantanée $\delta \phi$ de $R$ en fonction de $(\delta t,\delta \varphi)$, où $\delta \phi $ est de sorte qu'un vecteur tangent s'écrive $\delta R = \delta \phi \times R$ ?

N'hésitez-pas si vous trouvez la question mal posée. Merci d'avance!