Algèbre de Lie d'un groupe de Lie

Soit $G$ un sous-groupe fermé de $GL_n(\K)$ (ici $\K$ désigne $\R$ ou $\C$).
Soit $V\in M_n(\C)$.
Considérons les énoncés suivants:

(i) $\exp(tV)\in G$ pour tout $t\in \R$
(ii) il existe un intervalle $J$ ouvert contenant $0$ et une fonction $C^{\infty}$ de $J$ dans $G$ telle que $f(0)=I_n$ et $f'(0)=V$
(iii) il existe un intervalle $J$ ouvert contenant $0$ et une fonction dérivable de $J$ dans $G$ telle que $f(0)=I_n$ et $f'(0)=V$
(iv) il existe un réel $a>0$, et une fonction $f:[0,a]\to G$ dérivable à droite en $0$, telle que $f(0)=I_n$ et telle que la dérivée à droite de $f$ en $0$ est égale à $V$
(v) il existe une suite $(X_k)_{k\in \N}$ d'éléments de $G$ tels que $X_k\underset{k \to +\infty}{\longrightarrow} I_n$ et $k(X_k-I_n) \underset{k \to +\infty}{\longrightarrow} V$

Chacun des énoncés (i) à (iv) entraîne assez trivialement le suivant (on a (i) qui implique (ii) qui implique (iii) qui implique (iv) qui implique (v); pour cette dernière implication, il suffit de poser $X_k:=f\left ( \frac 1 k\right)$ pour tout $k\in \N$).

Le résultat clé et spectaculaire de ce thème est le suivant, dû à Von Neumann:

[size=large](v) entraîne (i)[/size] et donc toutes ces affirmations sont équivalentes.
Une preuve de ce résultat est donnée à la fin de ce message.

Faisons quelques commentaires.
On désigne souvent par une lettre gothique minuscule $\mathfrak g$ l'ensemble des $V\in M_n(\K)$ satisfaisant l'un des (donc tous les) énoncés précédents. Cet ensemble s'appelle "l'algèbre de Lie de $G$". Ces énoncés expriment intuitivement l'idée que $\frak g$ est le translaté en $0$ de l'espace tangent géométrique à $G$ en $I_n$ (appelé simplement "espace tangent en $I_n$" en géométrie différentielle). Un vecteur est tangent à une partie de l'espace s'il est la dérivée au point considéré d'une courbe tracée dans ledit espace. Les sous-groupes fermés de $GL_n(\K)$ se comportent particulièrement bien vis-à-vis de cette notion.

De plus on voit tout de suite que $\mathfrak g$ est un sous $\R$-espace vectoriel (pas forcément $\C$ par contre) de $M_n(\K)$ ici. En effet soient $f'(0),g'(0)\in \mathfrak g$ avec $f,g$ courbes dans $G$ (i.e. fonctions d'un intervalle dans $G$ envoyant $0$ sur $I_n$); soient $\lambda,\mu \in \R$, alors la dérivée en $0$ de $t\mapsto f(\lambda t)g(\mu t)$ est égale à $\lambda f'(0)+\mu g'(0)$.

Parlons du crochet:
Quand les gens débutent la théorie des groupes, il voient parfois la notation $[a,b]$ pour $aba^{-1}b^{-1}$ avec $a,b$ dans un groupe $G$. Dans le cas de matrices $A,B\in M_n(K)$, $[A,B]$ désigne plutôt $AB-BA$. Quel est le lien entre ces deux notions?

Avec les notations précédentes, soient $f,g \in C^{\infty} (J,G)$ telles que $f(0)=g(0)=I_n$. Alors un calcul montre que la fonction (valant $I_n$ en $0$) $t\mapsto f(\sqrt t) g(\sqrt t) f^{-1}(\sqrt t) g^{-1}(\sqrt t)$ possède un développement limité à l'ordre $1$ en $0$, de la forme $t\mapsto I_n + t\left ( f'(0) g'(0) - g'(0) f'(0)\right ) + o(t)$. Le point 4° de l'équivalence en vert montre donc que $\mathfrak g$ est stable par le crochet $A,B \mapsto AB-BA =: [A,B]$.

On peut assimiler les éléments de $\mathfrak g$ à des champs de vecteur et généraliser le crochet aux champs de vecteurs. Consulter des livres de géométrie différentielle.

Il y a d'autres résultats dans le sillage du théorème de Von Neumann: en fait $\exp$ est en $0$ l'inverse d'une carte de sous-variété de $G$ en $I_n$, dont l'image est (l'intersection avec un voisinage de $0$ de) $\mathfrak g$.
Visiter la page wikipédia du théorème de Von Neumann pour les Groupes de Lie.

Donc en fait $\mathfrak g$ peut être vu comme le "voisinage infinitésimal de $G$" en $I_n$.
$\mathfrak g$ contient beaucoup d'informations sur $G$, deux sous groupes connexes de $GL_n(\K)$ sont égaux si et seulement si leurs algèbres de Lie sont égales par exemple.


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Preuve du théorème de Von Neumann.
D'abord il y a un lemme (connu en principe, le cas échéant passer au paragraphe suivant...):
1° Soit $A$ une algèbre de Banach (remplace $A$ par $M_n(\K)$ si on ne sait pas ce qu'est une algèbre de Banach) La suite de fonctions $k \mapsto x\mapsto \left (1+\frac x k \right )^k$ converge uniformément sur toute partie bornée de $A$ vers la fonction $\exp$.
Posons pour tous entiers $k,p$, $u^{(k)}_p := \frac{1}{p!}-\frac{1}{k^p}\binom{k}{p}$ si $p\leq k$,et $u^{(k)}_p := \frac{1}{p!}$ si $p>k$. Alors un calcul montre que pour tous $p,k\in \N$, $u^{(k)}_p\geq 0$. Or $\sum_{p=0}^{+\infty} u^{(k)}_p x^p = \exp(x)-\left (1+\frac x k \right )^k$ pour tout $x\in A$ et tout $k\in \N$.
Soient alors $R$ un réel positif, $k\in \N$ et $x\in A$ tel que $\|x \| \leq \R$. On déduit de ce qui précède les inégalités
$$\| \exp (x) - \left (1+\frac x k \right )^k \| = \|\sum_{p=0}^{+\infty} u^{(k)}_p x^p \| \leq \sum_{p=0}^{+\infty} u^{(k)}_p \|x \|^p \leq \sum_{p=0}^{+\infty} u^{(k)}_p R^p = \exp(R)-\left (1+\frac R k \right )^k \tag{$*$}$$
On voit (en passant au log dans $\left (1+\frac R k \right )^k$et en reconnaissant la dérivée en $0$ de $t\mapsto \log(1+Rt)$ par exemple) que le membre de droite de cette inégalité tend vers $0$ quand $k$ tend vers l'infini d'où le résultat.

Montrons maintenant (v)=> (i).
Soit $G$ un sous-groupe fermé de $GL_n(\K)$, $V\in M_n(\K)$ et $(X_k)_{k\in \N}$ une suite de $G$ tendant vers $I_n$ et telle que $k(X_k-I_n)$ tend vers $V$ quand $k$ tend vers $+\infty$. Montrons que pour tout $t\in \R$, $\exp(tV)\in G$; pour cela, il suffit d'établir cette appartenance pour tout $t$ positif (puisque $G$ est un groupe et que $\exp(-tV)$ est l'inverse de $\exp(tV)$ pour tout $t$). Soit donc $t$ un réel positif. On pose pour tout $k$, $Y_k:= k(X_k-I_n)$ et $Z_k:= \frac{\lfloor tk \rfloor}{tk} \times (t Y_k)$. Alors par construction, $X_k=1+\frac 1 k X_k$ et de plus, $(Z_k)_{k\in \N}$ est bornée et tend vers $tV$. D'après le lemme 1° précédent, $\left ( 1 + \frac{1}{\lfloor tk \rfloor} Z_k\right )^{\lfloor tk \rfloor}$ tend vers $\exp(tV)$ quand $k$ tend vers l'infini. Or pour tout $k\in \N$, $$
\left ( 1 + \frac{1}{\lfloor tk \rfloor} Z_k\right )^{\lfloor tk \rfloor} = \left ( 1 + \frac{1}{\lfloor tk \rfloor} \frac{\lfloor tk \rfloor}{tk} \times (t Y_k) \right )^{\lfloor tk \rfloor} = \left ( 1 + \frac{1}{k} Y_k\right )^{\lfloor tk \rfloor} = X_k^{\lfloor tk \rfloor} \in G \tag{$**$}$$ Ainsi, comme $G$ est fermé dans $GL_n(\K)$ et comme $\exp(tV)\in GL_n(\K)$ (édité d'après le message de john_john), $\exp(tV)\in G$. CQFD.

Bonjour, pourquoi se restreindre aux sous-groupes de $GL_n(\mathbb K)$ ?

Si $G$ est un groupe de Lie, alors l'ensemble des champs de vecteurs invariants à gauche (c'est-à-dire les $X$ champs de vecteurs sur $G$ vérifiant $dL_g . X(h)=X(gh)$, ou encore $(L_g)_{*}X = X$) a une structure naturelle d'algèbre de Lie, où le crochet est donné par :
$$\forall f \in C^{\infty}(G), \, [X,Y] \cdot f = X \cdot (Y \cdot f) - Y \cdot ( X \cdot f)
$$ (on utilise le résultat suivant : toute dérivation provient d'un unique champ de vecteurs).