Petersen (359)

Bonjour,

Comment est donnée la "surface" du losange?

Cordialement,

Rescassol

Yannguyen continue sa « chine » de vieux ouvrages, méprisant superbement les réimpressions Gabay, BNF et autres, ce qui est le signe d'un homme de goût. Bravo pour cette trouvaille à bon marché.
C'est un recueil de 410 problèmes par le Danois Julius Petersen (1839-1910), petit livre de 112 pages qui a connu le succès, puisqu'il y a eu trois éditions franco-danoises comme celle-ci (1880, 1892, 1901) puis encore deux par le seul Gauthier-Villars (1931, 1946), et peut-être d'autres que je ne connais pas. Et sans doute d'autres éditions dans d'autres langues que le français. J'ignore s'il y a eu des modifications d'une édition l'autre.
Les problèmes sont classés par méthodes, ce qui met sur la voie de la solution. Le problème 359 sélectionné par Yannguyen est dans le troisième chapitre : Théorie de la rotation, p. 73.
Moi je voudrais trouver La géométrie du triangle de Trajan Lalesco en véritable édition, Bucarest 1937 (en français !), mais je désespère.
Bonne journée quand même.
Fr. Ch.

Bonjour
Etant donnés un triangle $OAB$ et un réel $k$, quel est le lieu des points $M$ pour lesquels, si la perpendiculaire en $O$ à $OM$ coupe la droite $AB$ en $m$, on ait $S\left( OmM\right) =k\cdot S\left( OAB\right) $ ($S$ est l'aire algébrique)?
Cela devrait justifier mon message précédent.
Amicalement. Poulbot

Bonjour Rescassol et merci
Plus précisément, prenant pour $m$ la projection de $O$ sur la droite $AB$, il vient que ton cercle est celui de diamètre $\left[ OO^{\prime }\right] $ où $\overrightarrow{OO^{\prime }}=k\cdot \overrightarrow{AB}$.
Bien cordialement. Poulbot

Bonjour à tous
Le problème de Chaurien me semble intéressant.
Il s'agit de chercher les extrema de l'aire algébrique d'un triangle $Omm'$, rectangle en $O$ dont les sommets $m$ et $m'$ décrivent des droites $L$ et $L'$
Je ne regarde que le cas général où les droites $L$ et $L'$ sont concourantes vous abandonnant les cas où les droites $L$ et $L'$ ne le sont pas!
Je travaille dans un repère cartésien (kiss essuie la?) d'origine $O$ (en général non orthonormé) dans lequel la droite $L$ a pour équation $x=a$ et la droite $L'$ pour équation $y=b$
Le point $m$ a donc pour coordonnées $(a,y)$ et le point $m'$ pour coordonnées $(x',b)$.
On sait ou plus exactement on savait que l'aire algébrique du triangle $Omm'$ est était proportionnelle à la quantité:
$$x'y-ab$$. (doux ksa saure?).
La matrice de Gram du repère est:
$$\begin{pmatrix}
1&\cos(\theta)\\
\cos(\theta)&1
\end{pmatrix}
\qquad
$$
Nos aïeux qui n'y connaissaient rien aux matrices disaient travailler en repère oblique.
Dans ce repère, les vecteurs de composantes $(x,y)$et$(x',y')$ sont orthogonaux si et seulement si:
$$xx'+yy'+(xy'+yx')\cos(\theta))=0\qquad$$
La rectangularitude en $O$ du triangle $Omm'$ se traduit par la relation:
$$ax'+by+(ab+x'y)\cos(\theta)=0\qquad$$
On est donc face à un (simple?) problème d'extrema liés:
Maximiser dans $\mathbb R^2$:
$$(x',y)\mapsto x'y$$
sachant que:
$$ax'+by+(ab+x'y)\cos(\theta)=0\qquad$$
Et arrivé là, je suis pris d'une sainte flemme!
Amicalement
[small]p[/small]appus revenu de la maison de Fiodor et un peu contusionné sur les bords pour avoir voulu vérifier la théorie de Galilée sur le plan incliné dans un escalier

Merci Jelobreuil pour tes bons vœux
C'est effectivement un petit miracle que je m'en sois sorti et je suis resté KO un bon moment.
Mais je suis enfin arrivé à l'âge des gamelles!
C'est pas fini, loin de là!!!
Il faut tirer les conséquences de ces équations et donner une construction géométrique de ces extrema!
II existe une autre manière moins calculatoire de faire, bien connue de nos anciens qui maniaient les infiniment petits avec brio.
Suppose que le triangle $Omm'$ réalise un extremum de l'aire algébrique.
Tu prends un triangle infiniment voisin $Onn'$ en sorte que:
$$\widehat{mOn}=\widehat{m'On'}=d\theta\qquad$$
Pour nos anciens $d\theta\ $ était un angle très petit, si petit qu'il le considérait comme un angle infiniment petit du premier ordre.
Ils écrivaient alors que l'aire était stationnaire:
$$Aire(Omm')=Aire(Onn')\qquad$$
A toi de te débrouiller avec cette équation!
Ils arrivaient à s'en sortir avec, il y a quatre siècles, pourquoi n'en serais-tu pas capable aujourd'hui?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Rescassol de ta sollicitude!
Je me souviens encore de la première seconde de mon vol plané me disant comme dans l’histoire bien connue: jusqu’ici, ça va!
La suite fut moins drôle mais dix jours après, cela va beaucoup mieux, je retrouve le forum seulement un peu plus cabossé que d’habitude mais les yacks tutélaires en ont vu bien d’autres!
Tes remarques circulaires sont exactes mais je pense qu’elles sont d’autant plus inutiles que j’ai mâché le boulot!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour à tous
Nous avons déjà vu deux solutions possibles du problème de Chaurien.
J'en ai une troisième en tête basée sur la construction de Poulbot que je salue.
Il y en a sans doute beaucoup d'autres, à vous de les trouver!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Je n'ai pas le livre de Petersen sous la main, sans doute est-il tapi quelque part dans ma yourte mais je suis bien trop fatigué pour le trouver!
Il semble me rappeler que Petersen donne la solution de tous ses exercices ou à tout le moins propose quelques indications!

Content de voir pappus que tu as retrouvé toute ta verve à nulle autre pareille ;-)

Bonjour Pappus
Je te souhaite un bon et rapide rétablissement et suis très heureux de constater que ton immense talent de géomètre n'est pas altéré.
Amicalement. Poulbot

@Rescassol Je pense que "l'enveloppe de l'hypoténuse" n'est une ellipse que dans le cas où $\widehat{AOB}$ est aigu

Merci Poulbot pour tes bons vœux.
Toi aussi tu m'as beaucoup manqué mais tu me manques tous les jours.
C'est pourquoi j'apprécie d'autant plus chacune de tes apparitions de plus en plus rares sur ce forum.
Je vois bien que mon état de santé actuel ne me permet plus de participer à la vie de ce forum aussi activement qu'auparavant!
Ta belle construction n'a guère trouvé d'écho tout comme la mienne calquée sur la tienne!
Personne ne s'est proposé pour essayer de les justifier, ce qui est un peu décourageant!
Amicalement
[small]p[/small]appus