Alignement
Bonjour
Soit le triangle $ABC$. Une conique coupe chacun de ses côtés : $BC$ en $A_1$ et $A_2$, $CA$ en $B_1$ et $B_2$, $AC$ en $C_1$ et $C_2$. Il y a $8$ permutations dans la façon de choisir les indices $1$ et $2$, soit $8$ configurations différentes mais avec les mêmes propriétés. On choisit l'une d'elles.
$A_3 = BB_1 \cap CC_1 \qquad B_3 = CC_1 \cap AA_1 \qquad C_3 = AA_1\cap BB_1$
$A_4 = B_2B_3 \cap C_2C_3 \qquad B_4 = C_2C_3 \cap A_2A_3 \qquad C_4 = A_2A_3\cap B_2B_3$
$a =A A_1 \cap A_2A_3 \qquad b = BB_1 \cap B_2B_3 \qquad c = CC_1\cap C_2C_3$
Je constate que $A_3B_3C_3$ et $A_4B_4C_4$ sont en perspective de centre $I$ et d'axe $abc$, et donc aussi qu'il existe une conique inscrite dans $A_4B_4C_4$ avec les points de contact $A_3$, $B_3$ et $C_3$.
Comment prouver tout cela ?
Auxiliairement 1/ y-a t'il parallélisme entre les axes de la conique de départ et de celle inscrite, et 2/ peut-on trouver une propriété intéressante sur l'ensemble des $8$ droites $abc$ ?
(C'est un travail de romain de représenter les 8 configurations ensemble. Ce serait un peu plus simple si on pouvait utiliser un calque par configuration, mais je ne sais pas comment définir des calques dans Géogébra).
Encore un point : ce problème est la généralisation de celui que j'avais traité en 2017 dans le fil "Conjugués isogonaux" par les théorèmes de Ménélaüs et de Desargues, mais il n'y avait que $2$ configurations au lieu de $8$, et la droite $abc$ passait par les $2$ points conjugués.
A vous de jouer maintenant.
Soit le triangle $ABC$. Une conique coupe chacun de ses côtés : $BC$ en $A_1$ et $A_2$, $CA$ en $B_1$ et $B_2$, $AC$ en $C_1$ et $C_2$. Il y a $8$ permutations dans la façon de choisir les indices $1$ et $2$, soit $8$ configurations différentes mais avec les mêmes propriétés. On choisit l'une d'elles.
$A_3 = BB_1 \cap CC_1 \qquad B_3 = CC_1 \cap AA_1 \qquad C_3 = AA_1\cap BB_1$
$A_4 = B_2B_3 \cap C_2C_3 \qquad B_4 = C_2C_3 \cap A_2A_3 \qquad C_4 = A_2A_3\cap B_2B_3$
$a =A A_1 \cap A_2A_3 \qquad b = BB_1 \cap B_2B_3 \qquad c = CC_1\cap C_2C_3$
Je constate que $A_3B_3C_3$ et $A_4B_4C_4$ sont en perspective de centre $I$ et d'axe $abc$, et donc aussi qu'il existe une conique inscrite dans $A_4B_4C_4$ avec les points de contact $A_3$, $B_3$ et $C_3$.
Comment prouver tout cela ?
Auxiliairement 1/ y-a t'il parallélisme entre les axes de la conique de départ et de celle inscrite, et 2/ peut-on trouver une propriété intéressante sur l'ensemble des $8$ droites $abc$ ?
(C'est un travail de romain de représenter les 8 configurations ensemble. Ce serait un peu plus simple si on pouvait utiliser un calque par configuration, mais je ne sais pas comment définir des calques dans Géogébra).
Encore un point : ce problème est la généralisation de celui que j'avais traité en 2017 dans le fil "Conjugués isogonaux" par les théorèmes de Ménélaüs et de Desargues, mais il n'y avait que $2$ configurations au lieu de $8$, et la droite $abc$ passait par les $2$ points conjugués.
A vous de jouer maintenant.
Réponses
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Complément
La permutation simultanée $A_1 / A_2$, $B_1 / B_2$ et $C_1 / C_2$, donne les $2$ ensembles $abc$ et $a'b'c'$ situés sur la même droite. -
Bonjour
Un autre point commun avec le problème "Conjugués isogonaux" :
$A_3B'_3$, $A'_3B_3$ et $C_1C_2$ ($AB$) sont concourantes,
$A_3C'_3$, $A'_3C_3$ et $B_1B_2$ ($AC$) sont concourantes,
$C_3B'_3$, $C'_3B_3$ et $A_1A_2$ ($BC$) sont concourantes.
Mais dans le problème précité, j'utilisais les puissances de $A$, $B$ et $C$ par rapport au cercle $\Gamma$, et je voudrais éviter d'invoquer une transformation homographique qui ferait de la conique un cercle (ce qui est autorisé puisque le problème est projectif).
Quelqu'un a-t'il une idée ?
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Bonjour!
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