Alignement

Bonjour

Soit le triangle $ABC$. Une conique coupe chacun de ses côtés : $BC$ en $A_1$ et $A_2$, $CA$ en $B_1$ et $B_2$, $AC$ en $C_1$ et $C_2$. Il y a $8$ permutations dans la façon de choisir les indices $1$ et $2$, soit $8$ configurations différentes mais avec les mêmes propriétés. On choisit l'une d'elles.

$A_3 = BB_1 \cap CC_1 \qquad B_3 = CC_1 \cap AA_1 \qquad C_3 = AA_1\cap BB_1$

$A_4 = B_2B_3 \cap C_2C_3 \qquad B_4 = C_2C_3 \cap A_2A_3 \qquad C_4 = A_2A_3\cap B_2B_3$

$a =A A_1 \cap A_2A_3 \qquad b = BB_1 \cap B_2B_3 \qquad c = CC_1\cap C_2C_3$

Je constate que $A_3B_3C_3$ et $A_4B_4C_4$ sont en perspective de centre $I$ et d'axe $abc$, et donc aussi qu'il existe une conique inscrite dans $A_4B_4C_4$ avec les points de contact $A_3$, $B_3$ et $C_3$.

Comment prouver tout cela ?
Auxiliairement 1/ y-a t'il parallélisme entre les axes de la conique de départ et de celle inscrite, et 2/ peut-on trouver une propriété intéressante sur l'ensemble des $8$ droites $abc$ ?

(C'est un travail de romain de représenter les 8 configurations ensemble. Ce serait un peu plus simple si on pouvait utiliser un calque par configuration, mais je ne sais pas comment définir des calques dans Géogébra).

Encore un point : ce problème est la généralisation de celui que j'avais traité en 2017 dans le fil "Conjugués isogonaux" par les théorèmes de Ménélaüs et de Desargues, mais il n'y avait que $2$ configurations au lieu de $8$, et la droite $abc$ passait par les $2$ points conjugués.

A vous de jouer maintenant.