Tangente à une spirale logarithmique
Bonjour
1) Mon apprentissage des mathématiques me ramène très très loin dans le passé.
2) Je ne me souviens pas d'avoir étudié la spirale logarithmique au lycée.
Je fais donc appel à vous pour répondre à mon problème.
Afin de réaliser un dispositif permettant d'immobiliser les mors d'un mandrin de tour afin de les usiner (voir P.J.), j'ai besoin de trois portions (sur 120°) de spirale logarithmique. (une vis sur chacun des 3 mors viendra serrer ce "disque").
J'ai créé une feuille de calcul pour avoir les points de la spirale ) partir de :
- Rayon mini (r),
- Rayon maxi (R) et
- Le nombre de points (n) sur la portion d'arc de 120°.
Je peux calculer la progression géométrique des rayons vecteurs : k=(R-r)^(1/(n-1)) et ainsi avoir les points définis par l'angle et le rayon (voir définition de la spirale en P.J.).
Comme le système sera serré par les mors, il ne doit pas y avoir de glissement, et donc que l'angle(aigu) entre la tangente et le rayon vecteur au point de serrage ne dépasse pas une valeur limite !
Est-il possible, à partir des données, de trouver l'angle entre le rayon vecteur aboutissant à un point "M" et la tangente à la spirale en ce même point ?
Je vous donnerai tous les renseignements complémentaires dont vous pourriez avoir besoin, soit pour le calcul, soit pour la compréhension du problème.
En vous remerciant pour l'aide que vous m'apporterez,
bien cordialement,
GUGUSSE.
1) Mon apprentissage des mathématiques me ramène très très loin dans le passé.
2) Je ne me souviens pas d'avoir étudié la spirale logarithmique au lycée.
Je fais donc appel à vous pour répondre à mon problème.
Afin de réaliser un dispositif permettant d'immobiliser les mors d'un mandrin de tour afin de les usiner (voir P.J.), j'ai besoin de trois portions (sur 120°) de spirale logarithmique. (une vis sur chacun des 3 mors viendra serrer ce "disque").
J'ai créé une feuille de calcul pour avoir les points de la spirale ) partir de :
- Rayon mini (r),
- Rayon maxi (R) et
- Le nombre de points (n) sur la portion d'arc de 120°.
Je peux calculer la progression géométrique des rayons vecteurs : k=(R-r)^(1/(n-1)) et ainsi avoir les points définis par l'angle et le rayon (voir définition de la spirale en P.J.).
Comme le système sera serré par les mors, il ne doit pas y avoir de glissement, et donc que l'angle(aigu) entre la tangente et le rayon vecteur au point de serrage ne dépasse pas une valeur limite !
Est-il possible, à partir des données, de trouver l'angle entre le rayon vecteur aboutissant à un point "M" et la tangente à la spirale en ce même point ?
Je vous donnerai tous les renseignements complémentaires dont vous pourriez avoir besoin, soit pour le calcul, soit pour la compréhension du problème.
En vous remerciant pour l'aide que vous m'apporterez,
bien cordialement,
GUGUSSE.
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Réponses
Et bienvenue sur ce forum !
En attendant que d'autres plus expérimentés et qualifiés que moi te répondent de manière satisfaisante, je me permets de te signaler, au cas où tu n'aurais pas déjà eu l'idée de le consulter,
https://fr.wikipedia.org/wiki/Spirale_logarithmique
où je pense que tu pourras trouver des débuts de réponse, et notamment confirmation de ce que l'angle qui t'intéresse est constant, ce dont il me semblait bien me souvenir ...
Bien cordialement
JLB
Je ne comprends pas bien la construction. Comment sont construits les points ? Je suppose qu'on place $n$ points sur la spirale, chaque point étant défini par une augmentation constante de l'angle, et qu'on place exactement $n$ point entre l'angle $0$ et l'angle $120$ degrés.
On a une courbe en spirale logarithmique en coordonnées polaires : $\displaystyle \rho = a b^{\theta}$ avec $\displaystyle b>0.$
En $\displaystyle \theta = 0$, la courbe est sur le petit cercle de rayon $r$ : donc $\displaystyle a = r.$
On note le premier point $\displaystyle M_1$ : $\displaystyle \rho_1 = r.$
Le second point $\displaystyle M_2$ : $\displaystyle \rho_2 = r b^{\theta_2}$
Le second point $\displaystyle M_3$ : $\displaystyle \rho_3 = r b^{\theta_3}$
Le dernier point d'indice $\displaystyle n \geq 2$ d'angle 120 degrés est sur le grand cercle de rayon $\displaystyle R>r$ : $\displaystyle \rho_n = R=r b^{2\pi/3}.$
On en tire $\displaystyle \ln b = {3\over 2\pi} ln {R \over r}.$
Un point d'indice $k$ avec $\displaystyle 1 \leq k \leq n$ sur la spirale vérifie : $\displaystyle \rho_k = r ({R\over r})^{{3 \over 2 \pi} k}.$
L'angle $a$ de la tangente en $M$, un point sur la spirale, et son rayon vecteur $OM$, est donné par $\displaystyle \tan a = {1 \over \ln b} = { 2 \pi\over 3}{1 \over \ln {R\over r}}.$
Et merci à YvesM, je ne pensais pas avoir une réponse aussi rapidement !
J'ai un peu de mal à "passer" des "ln" aux "e", mais je te crois.
J'ai tracé la portion de spirale avec :
R=59,5
r=42 et 13 points.
En traçant "au mieux" une tangente, je "trouve" un angle de 80° (1,396 rd) et ton calcul me "donne" tg (alpha) = 1,37.
Soit un angle de 0,94 rd (53,8°).
Je fais surement une erreur, mais je ne vois pas où !
L’application numérique donne $a=1.406(0)$ radians ou encore $a=80,5(6)$ degrés.
La formule est $\displaystyle a=\arctan\Big({2\pi\over 3} {1\over \ln{R\over r}}\Big).$ Elle donne $a$ en radians.
Les calculs "collent" avec l'épure que j'avais faite.
Je peux maintenant "jouer" avec les rayons mini/maxi pour avoir une tangente(alpha) compatible avec les conditions de frottement et tracer un gabarit pour découper ma spirale.
Pour être sûr d'avoir un angle de frottement faible, il fallait augmenter le petit rayon !
Bon week end à tous.
cordialement,
GUGUSSE
Mon problème semblait être résolu, mais c'était sans compter sur ma quête de perfection :
Quitte à fabriquer cet objet, je voulais qu'il soit le plus "universel" possible.
J'ai voulu "ajouter" des spirales "plus petites" pour augmenter le champ d'action de l'appareil.
J'ai donc cherché une portion de spirale pour la plage de rayons de 59,5 à 48 puis de 48 à 39 et enfin de 39 à 31,5 mm, avec le même angle entre la normale au point de contact et le rayon vecteur (tg 0,1).
En "copiant" ces portions, décalées de 120°, j'ai constaté qu'elles se prolongeaient.
D'où l'idée de chercher une spirale sur 360° avec la plage de rayons de 59,5 à 31,5 mm !
Pour la compréhension, les spirales sont réparties l'une sur la tranche d'une "rondelle", et les deux autres sur chacune des faces de la "rondelle", pour être "accessibles" (voir figure).
J'ai modifié en conséquence ma feuille de calcul (dont vous avez un extrait en P.J.) et je me suis aperçu que l'angle de la tangente changeait (avec la même formule que les recherches précédentes) !
J'ai vérifié les valeurs des rayons polaires entre chacun des trois calculs "partiels" et les valeurs trouvées dans le cas du calcul sur 360° :
à quelques centièmes (voire 1 ou 2 dixième), les valeurs se correspondent et des différences aussi minimes n'expliquent pas pourquoi la tangente "passe" de 0,1 à 0,3 !
Où est l'erreur ?
Si vous voulez bien me venir en aide, je vous en remercie.
Cordialement,
GUGUSSE.
Incompréhensible.
Tu as la formule, utilise-la.
Si tu as un autre problème, il faut le définir clairement.
Je viens de comprendre mon erreur :
elle vient du fait qu'il faut calculer "b", non pas avec le dernier point sur l'angle 2*pi/3, mais sur l'angle 2*pi !
la formule donnant l'angle entre la normale au point de contact et le rayon vecteur devient :
TAN((PI()/2)-ATAN(2*PI()/LN(B2/B1))).
Il était donc "normal" que je trouve une valeur trois fois trop grande !
L'erreur n'existe plus et je vous remercie pour votre aide. Ce genre de raisonnement fait parti des vieux souvenirs !
Cordialement,
GUGUSSE.