Recherche d'une construction

Bonjour ,

GaBuZoMeu ( http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1885882) avait proposé une solution à base de 2 paraboles qui peut être appliquée ici aussi
Cordialement

Bonsoir,

Dans la figure de pappus, le projeté de $w$ sur $(AB)$ est situé aux quatre cinquièmes de $[AB]$ en partant de $A$, celui de $y$ aux cinq septièmes.

Bonne Nuit à tous
Voici une nouvelle construction qui n'exige pour l'exécuter que la connaissance de l'Axiome de Thalès encore provisoirement dans nos programmes.
Alors profitons en vite.
Il suffit de subdiviser le segment $AB\ $ en cinq parties égales.
Je pense que ce devrait être dans les cordes de nos capésiens les mieux entraînés!
Si vous n'arrivez pas à la prouver, no problemo!
Vous rajoutez la figure comme Axiome à côté de celui de Thalès!
Ca n'en fera jamais qu'un de plus et personne ne s'apercevra de rien au ministère!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Voilà qui est parfait pour ajouter une question à mon problème de niveau quatrième, qui contient déjà une équation du second degré se ramenant au premier :-)

On peut obtenir la figure en prolongement la construction de mon fichier. On a tous les points de contact et le centre du petit cercle à la règle seule donc (une fois que le milieu de $[AB]$ est placé) :

Petit complément : exprimer R et r en fonction de a .

C'est bien ce que donne mes calculs et on en déduit ce qui avait attiré mon attention : $r = \frac{R}{7}$

Bonjour,

dans le livre de Géry Huvent , celui-ci dit page 77 : un sangaku non daté , observé dans la préfecture de Miyagi et qui a été détruit.

Bien cordialement.
kolotoko

Observé dans la préfecture de Miyagi puis détruit... évaporé... c'est bien vague. Si vous avez d'autres infos je suis preneur. De quelle source exactement parles-tu Jean-Louis, à propos de ce Dan Pedoe ? Géry Huvent cite-t-il ses sources kolotoko ? Et sait-on, puisqu'il a été détruit, comment il est parvenu jusqu'à nous ? Par voie orale ? Ce n'est pas un poème.. il a bien fallu faire suivre la figure..
Ci-joint le fichier collégien version 2 :
- ajout d'une carte du Japon avec la préfecture de Miyagi;
- partie 3 1°) : j'ai séparé DT et CK car demander de prouver la double égalité DT = CK = 10 - y peut déstabiliser;
- au fait, pourquoi un carré de côté 10 cm ? J'avais pris 8 cm au départ. Mais comme le rayon du cercle n°3 vaut les trois huitièmes du côté du carré, il n'y avait pas de surprise une fois la figure construite. Alors qu'avec 10 cm de coté le rayon vaut 3,75 cm, ce qui est impossible à deviner avec une figure;
- ayant fait du chinois pendant 5 ans je sais que le caractère (chinois) san correspond ici à calculer; Quant à gaku j'ai des doutes : je sais qu'il est formé de ga et de ku, mais contient-il une référence au bois ? Rien trouvé de concluant dans mon petit dictionnaire ni sur le net.

Bonjour,

Ludwig : Géry Huvent (et non Guy Huvent ) ne cite pas ses sources dans son livre.

Il a aussi un site où il traite un peu des sangakus.

Bien cordialement.
kolotoko

Parfois l'élément phonétique peut aussi être choisi pour son sens non ?
J'ai trouvé l'édition japonaise du livre de Pedoe et Fukagawa.
Ci-joint aussi la version 3 du fichier collégien (ajout de références, mise en page..).
Toute remarque est la bienvenue.

Bonnes vacances, bises à tout le monde.

Ludwig

Ah j'oubliais ma vidéo décrivant la construction de ce sangaku, avec une très belle musique de Toru Takemitsu.
la vidéo
Autre chose : l'adverbe littéralement ne me sembe pas très adapté aux caractères chinois...

Autre complément : construire (règle , compas) les cercles violet et rouge

Bonjour Soc,

Non je n'ai pas de méthode accessible au collège pour démontrer que $E$, $F$ et $G$ sont cocycliques. J'ai essayé une chasse aux angles mais je n'ai pas abouti. Peux-tu poster ta méthode basée sur la loi des sinus ?
Ta question me fait penser que mon sujet est peut-être à réécrire : l'étape 6 de la partie 4 ("Le cercle n°3 a pour centre $H$ et passe par les points $E$, $F$ et $G$" a un statut bizarre, car elle contient une proposition qui n'est pas démontrée. Il serait mieux d'écrire que cette cocyclicité est admise, d'une façon ou d'une autre. Idem pour l'étape 4 de la partie 4. Et pour le triangle $DHE$ rectangle en E.
Cordialement,
Ludwig

Bonjour,

Écrire des maths pour la première fois en $52$ messages, bravo, ça se fête, champagne !! :-D

Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

Déjà, je t'encourage à continuer, on n'est pas très nombreux, ici, en géométrie.

Cordialement,

Rescassol

Merci Soc pour ta preuve.
On peut aussi obtenir ce résultat en démontrant que $\widehat{FCK}= \widehat{KCB}$, où $K$ est le milieu du segment $[AB]$. Pour cela considérer par exemple le cercle de diamètre $[AB]$. Une chasse aux angles permet ensuite de conclure. Mais cette façon de faire n'est toujours pas au programme de collège.
Ou alors on modifie la construction : en définissant $F$ et $G$ comme les intersections de ce nouveau cercle avec les deux arcs déjà définis il sera alors facile de prouver l'égalité des angles $\widehat{FCK}$ et $\widehat{KCB}$, puisqu'on aura les triangles $FCK$ et $KCB$ semblables.

Finalement je vais incorporer cette question de cocyclicité la recherche d'un centre d'un cercle au sujet, car il serait vraiment dommage de passer à côté d'un problème qui réunit solidement autant de notions. Voyez plutôt : construction d'une figure avec la règle graduée l'équerre et le compas, triangles égaux, triangles semblables, propriétés relatives aux parallèles et perpendiculaires, angles alternes-internes, théorème de Thalès (en remplacement de la défunte droite des milieux), propriétés de la médiatrice d'un segment, écriture d'une expression littérale, théorème de Pythagore, calcul littéral (développement et réduction), résolution d'une équation du premier degré (en fait c'est même mieux que ça car il s'agit d'équations du second degré qui se ramènent au premier), symétrie axiale et fractions irréductibles !

Voici un premier jet :

1°)a) Expliquer pourquoi les triangles $ABL$, $BKC$ et $ADE$ sont égaux.
1°)b) Que vaut la somme des angles aigus d'un de ces triangles ?
1°)b) Dans ces triangles, colorier de la même couleur les angles aigus de même mesure.
1°)c) En déduire que les droites $(AE)$ et $(KC)$ sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $(BL)$.

2°) Soit $M$ le point d'intersection des droites $(BL)$ et $(CK)$.
a) En utilisant le théorème de Thalès (voir remarque n°3), démontrer que $M$ est le milieu du segment $[BF]$.
b) En déduire que $(CK)$ est la médiatrice de $[BF]$.

3°)a) Expliquer alors pourquoi $\widehat{BCK}=\widehat{FCK}= \widehat{EFC}$.
3°)b) En déduire que le triangle $EFH$ est isocèle en $H$.

Puis par symétrie on aura bien $HE=HF=HG$. Je modifierais le fichier à la rentrée.

edit : on peut aussi démontrer que les triangles $ALF$, $AFB$ et $BKM$ sont semblables pour obtenir ensuite l'égalité angulaire du 3a).

suite

4°) L'arc de cercle n°1 a pour centre $C$ et joint les points $B$ à $D$. Expliquer pourquoi le point $F$ est sur cet arc.
5°)a) $G$ est le symétrique de $F$ par rapport à la droite $(KE)$. Proposer et justifier une méthode pour placer ce point en utilisant uniquement la règle non graduée.
5°)b) Montrer que $H$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $EFG$.

Remarque 1 : pour faciliter la lecture de la figure il faudrait peut-être.. en faire deux. La première sans les cercles, simplement pour la preuve que $H$ est le centre du cercle $EFG$, la seconde avec une autre construction de $F$ et $G$ (voir 4°) et 5).

Remarque 2 : la construction du second cercle, telle qu'elle est définie jusqu'à présent, pourra poser problème : un point de tangence utile à cette construction, celui qui se trouve sur un quart de cercle, est très (trop?) proche d'un côté du carré..

Suite remarque n°1 : du coup, pourquoi ne pas donner la figure de gauche ci-dessous, ou une partie, qu'il faudra compléter (les deux derniers segments par exemple) ? Cela permettra de gagner un peu de temps et de faciliter le lancement du problème. Seule la figure finale, avec les cercles, plus gratifiante (alors que celle de gauche est très facile à construire), sera entièrement réalisée par les élèves.

Remarque n°3 : pour la question 2a) je pense que je vais supprimer la mention "En utilisant le théorème de Thalès". Car on peut traiter cette question en utilisant une propriété relative à la droite des milieux (ou en parlant de triangles semblables). La droite des milieux n'a pas vraiment disparue du programme, je cite un document eduscol : Le théorème de Thalès est amené avec progressivité, d’abord avec la configuration des « triangles emboîtés ». Les deux points de vue « commencer par le théorème de la droite des milieux, puis généraliser » ou « présenter le premier comme une conséquence du deuxième » sont acceptables, et relèvent de la liberté pédagogique. La démonstration du théorème de la droite des milieux n’est pas un objectif.

La construction ci-dessous fonctionne : elle est basée sur le fait que le cercle $X$ a le même rayon que le cercle inscrit au triangle $CDH$.

figure n°2 : à partir du carré et des milieux de ses côtés, construction des centres des cercles et des points de tangence uniquement à la règle non graduée.

Bonjour à tous
Je redonne ma construction superbement ignorée par tous.
J'aurais peut-être dû la détailler un peu plus, ce que je vais faire maintenant.
$U\ $ est le milieu de $AB.\qquad$
$V\ $ est le symétrique de $A\ $ par rapport à $B.\qquad$
$W\ $ est le symétrique de $B\ $ par rapport à $A.\qquad$
Construction:
Le cercle de $V\ $ passant par $C\ $ et le cercle de centre $W\ $ passant par $B\ $ se coupent au point $\Omega.\qquad$
Le cercle de centre $B\ $ passant par $\Omega$ coupe le côté $BC\ $ au point de contact $u.\qquad$
Les deux autres points de contact $v$ et $w$ s'obtiennent par les segments bleus pointillés.
Evidemment tout élève de Troisième est capable d'effectuer cette construction.
Quant à l'expliquer, c'est une autre paire de manches et un agrégatif actuel serait bien impuissant à le faire!!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour Ludwig
Effectivement ma construction est basée sur l'inversion c'est à dire sur la géométrie circulaire et concrètement sur les idées développées dans le Lebossé-Hémery sur ce sujet!
La construction des cercles tangents à trois cercles donnés est un des problèmes les plus célèbres qu'on a résolu dans le cadre de cette défunte géométrie et je n'ai fait qu'appliquer dans ce cas particulier la méthode développée dans le cas général.
C'est pourquoi je disais que nos agrégatifs actuels n'avaient pas le début de la moindre chance de le résoudre au pied levé!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Ludwig
A vrai dire cette construction n'est pas étudiée directement dans le Lebossé-Hémery, peut-être est-elle proposée en exercice.
Par contre on peut la trouver dans les exercices de géométrie moderne de Papelier ou bien dans les compléments de géométrie moderne de Deltheil et Caire et peut-être même dans leur cours de géométrie.
La remarque fondamentale est la suivante:
Si on se donne deux cercles $\Gamma$ et $\Gamma'$, il existe en général deux inversions qui les échangent et tout cercle tangent à $\Gamma\ $ et $\Gamma'\ $ est invariant dans l'une ou l'autre de ces deux inversions.
Cette règle reste vraie si l'un des deux cercles est une droite!
C'est tout ce qu'il faut savoir!
Sur la figure ci-dessous, j'ai tracé en trait épais noir les cercles dont on cherche à construire le cercle bleu qui leur est tangent:
à savoir le cercle de centre $A\ $ passant par $B\ $, le cercle de centre $B\ $ passant par $A\ $ et la droite $BC.\qquad$
J'ai tracé en pointillé rouge les trois cercles d'inversion qui les échangent deux à deux.
Ce sont: le cercle de la figure de centre $U\ $, le cercle de centre $V\ $ passant par $C\ $ et le cercle de centre $W\ $ passant par $B.\qquad$
On constate (c'est à démontrer!) que ces trois cercles forment un faisceau à points de base $\Omega\ $ et $\Omega'\ $.
Le petit cercle bleu qu'on cherche à construire est orthogonal à ces trois cercles d'inversion
Il fait donc partie du faisceau conjugué (ou orthogonal) à points limites $\Omega\ $ et $\Omega'\ $ et d'autre part il doit être tangent à la droite $BC.\qquad$.
D'où ma construction du point $u\ $ qui, elle, se trouve dans le Lebossé-Hémery!
Amicalement
[small]p[/small]appus