Tesseract
dans Géométrie
Bonjour à tous. Le film Intelstellar m'a fait connaître la notion de tesseract. J'aimerais approfondir cette notion, car ça me parait super bizarre, mais je ne trouve que des livres et pdf en anglais. Savez-vous s'il existe quelque chose d'intéressant en français ?
Merci d'avance.
P.S. Je vais revisionner le film parce que je n'ai vraiment pas tout compris à la fin, dans le tesseract et la chambre de la fille du héros.
Bonne journée.
Jean-Louis.
Merci d'avance.
P.S. Je vais revisionner le film parce que je n'ai vraiment pas tout compris à la fin, dans le tesseract et la chambre de la fille du héros.
Bonne journée.
Jean-Louis.
Réponses
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Bonjour
Un tesseract, ou hypercube est l'équivalent en 4 dimensions du cube en 3 dimensions ou du carré en 2 dimensions.
Voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Hypercube ou https://fr.wikipedia.org/wiki/Tesseract .
Pour une autre façon de visualiser de visualiser un espace à 4 dimensions, je peux proposer https://www.raktres.net/tak4d/ (et les vidéos en lien sur la page) sans oublier de sélectionner "fr" dans la langue en haut à droite.
PS. On va dire que ce qui est appelé tesseract dans le film est un moyen pour un être en 3 dimensions de promener dans un espace à 4 dimensions. Et accessoirement la 4 ème dimension utilisée est une vue du temps, ce qui permet d'interagir avec plusieurs moments différents.
JF
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Une référence intéressante : http://dimensions-math.org/Dim_fr.htm.
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Merci Math Coss.
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Je peux au moins le définir mathématiquement : dans l'espace métrique $\mathbb{R}^4, T:=\{(\mp1,\mp1,\mp1,\mp1)\}$ ou alors l'enveloppe convexe. Par exemple son diamètre $D$ est $D=\sup_{x,y \in T} \|x-y\|=\sqrt{2^2+2^2+2^2+2^2}=\sqrt{4\times4}=2\sqrt4$. On peut alors définir une "diagonale principale" de $T$ comme un segment $xy\subset T$ tel que $\|x-y\|=4$ [par exemple $x=(1,1,1,1)$ et $y=(-1,-1,-1,-1)]$... Et tant qu'à faire, l'équivalent en dimension 5, avec un diamètre de $2\sqrt5$. Bref des choses simples à dire.
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Le groupe de symétries de la bête est intéressant.
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La symétrie $s_0:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4,M \mapsto -M$ laisse le tesseract globalement invariant( autrement écrit, $s_0(T)=T$). Il en est de même de $s_1:(x,y,z,t)\mapsto (-x,y,z,t)$, symétrie par rapport à l'hyperplan d'équation $x=0$. Il reste du travail...
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Tu peux aussi permuter les coordonnées librement. Avec ce que tu viens d'écrire, cela engendre toutes les symétries. Combien en tout ?
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@Math Coss : ok : $\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4, (x_1,x_2,x_3,x_4)\mapsto (x_i,x_j,x_k,x_l)$ , où $\begin{pmatrix}1 &2 &3 &4 \\i & j & k & l\end{pmatrix}$ désigne une permutation de $\{1,2,3,4\}$: il y a $4$ possibilités pour l'image de $1$, puis $3$ pour celle de $2$ et enfin $2$ pour celle de $3$, ce qui donne $4\times3\times2=12\times2=24$ possibilités ($4!$ ). Tu veux ensuite dire que le groupe engendré par ces $24$ symétries et $s_0$ et $s_1$ est le groupe des symétries du tesseract, c'est ça ?
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L’avatar d’un forumeur est un tesseract.
Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Oui, c'est ce que je veux dire. Dans cette histoire, $s_0$ n'est pas indispensable, il est le produit de quatre conjugués de $s_1$ par des permutations. Pour résumer, les symétries du tesseract forment le groupe des matrices qui ont un seul coefficient non nul par ligne et par colonne qui vaut $\pm1$. Cela fait donc $4!\times2^4$ éléments.C'est un groupe de Coxeter : qui donne des générateurs adéquats ?
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Ce que je trouve intéressant avec le tesseract, c'est qu'il oblige, à moins qu'on ne le connaisse déjà, à s'interroger sur ses connaissances des $n$-cubes en général, en commençant par le carré. Comme je ne sais pas répondre à la question de @Math Coss, je répondrai à côté : dans $\mathbb{R}^2$ euclidien rapporté à un système de coordonnées $xOy$ classique, soit $b_1$ la première bissectrice , $b_2$ la deuxième; soit alors les symétries $s_{x'x}, s_{b_1}, s_{b_2}, s_{y'y}$. Alors le groupe $G_2$ des symétries du carré est-il bien $\langle s_{x'x}, s_{b_1}, s_{b_2}, s_{y'y} \rangle$ ? (j'ai un trou de mémoire) Par ailleurs, je n'ai aucune idée de ce qu'est un groupe de Coxeter mais je pourrais peut-être commencer par là : $G_2 $ est-il un groupe de Coxeter ?
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Le groupe $G_2$ est engendré par deux des quatre symétries, par exemple $s_1=s_{xx'}$ et $s_2=s_{b_1}$. Ce sont des involutions et leur produit, une rotation d'angle $\pi/2$, est d'ordre $4$. Mieux, les relations $s_{1}^2=s_{2}^2=(s_1s_2)^4=\mathrm{id}$ sont « les seules relations » ; autrement dit, $G_2$ est « le groupe le plus général engendré par deux éléments soumis à ces relations ». C'est un groupe de Coxeter, on dit qu'il est de type $B_2$.Matriciellement, $s_1=\big(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\big)$ et $s_2=\big(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\big)$.Quant à celui du tesseract, eh bien, il est de type $B_4$. Qui peut donc être $B_3$ ?
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$B_2=\langle r,s_2 |r^4=s_2^2=1, rs_2=s_2r^3 \rangle$, avec $r:=s_1s_2$ aussi, non ? (de vagues souvenirs qui me reviennent...)
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Sans conviction $B_3$ est peut-être celui du cube classique...
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@stfj : Oui, c'est la présentation classique du groupe diédral d'ordre $8$. On voit facilement l'équivalence entre les deux présentations, non ? (Il suffit de vérifier que $s_1,s_2\in\langle r,s_2\rangle$ et que $r,s_2\in\langle s_1,s_2\rangle$, vu que les relations sont les mêmes.)@Amédé : Eh ! Qui d'autre ? Question subsidiaire pour un algébriste de Lie. Ce sont en fait des groupes de Weyl : de quels systèmes de racines ?
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Tout de suite les gros mots... Je débute. J'allais poser la question. Ça doit-être $\{±\alpha,±\beta±(\alpha+\beta),±(\alpha+2\beta)\}$ pour $B_2$, lorsque $\alpha$ et $\beta$ sont les deux racines simples.
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Pour les dimensions plus grandes. On prend la sous algèbre de Cartan formée des matrices diagonale de $so_{2n+1}(\C)$, Le système de racines a pour base $\{\alpha_i\mid 1\leq i<n\}\cup\{\varepsilon_{n}\}$. Avec $\alpha_i=\varepsilon_i-\varepsilon_{i+1}$ et $\varepsilon_{i}:h=a_i(E_{ii}-E_{i+n,i+n})\longmapsto a_i$.P.S. J'ai donné toutes les racines dans le message précédent.
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C'est exact mais c'est moi qui me suis planté : pour le tesseract, il vaut mieux parler de $C_4$ que de $B_4$. C'est le même groupe de Coxeter mais pas le même système de racines. Grmbl, ça m'apprendra à vouloir faire le malin sans vérifier !
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