Deux perpendiculaires sous une condition

Bonsoir,

J'utilise les coordonnées barycentriques.

Le triangle de référence :

$A, B, C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\0\\ 1\end{array}\right].$

Le centre du cercle d’Euler N de ABC et le point de Nagel Na de ABC :

$N, Na \simeq \left[\begin{array}{c} -(b^2 - c^2)^2 + a^2 (b^2 + c^2)\\ -(-a^2 + c^2)^2 + b^2 (a^2 + c^2)\\ -(a^2 - b^2)^2 + (a^2 + b^2) c^2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -a + b + c\\ a - b + c\\ a + b - c\end{array}\right].$

La droite (NaN) :

$(NaN) \simeq \left[\begin{array}{c}-(b - c) (2 a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - 2 a (b^2 - b c + c^2))\\ (a - c) (a^3 -
a (b - c)^2 + (b - c) (2 b - c) (b + c) - a^2 (2 b + c))\\ -(a - b) (a^3 - a (b - c)^2 + (b - 2 c) (b - c) (b + c) - a^2 (b + 2 c))\end{array}\right].$

La droite (BC) :

$(BC) \simeq \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right].$

On a :

$ \left[\begin{array}{c}-(b - c) (2 a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - 2 a (b^2 - b c + c^2))\\ (a - c) (a^3 -
a (b - c)^2 + (b - c) (2 b - c) (b + c) - a^2 (2 b + c))\\ -(a - b) (a^3 - a (b - c)^2 + (b - 2 c) (b - c) (b + c) - a^2 (b + 2 c))\end{array}\right]^t \times \left[\begin{array}{c} 2a^2 & - a^2 - b^2 + c^2 & - a^2 + b^2 - c^2\\ - a^2 - b^2 + c^2 & 2b^2 & a^2 - b^2 - c^2\\ - a^2 + b^2 - c^2 & a^2 - b^2 - c^2 & 2c^2\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right] =$

$ (a - b - c) (4 a - b - c) (a + b - c) (-b + c) (a - b + c) (a + b + c).$

Or par hypothèse, ABC est un triangle tel que $AB + AC = 4.BC.$

On a $b+c = 4a$ donc $4a-b-c = 0.$

Par suite, on obtient :

$\small \left[\begin{array}{c}-(b - c) (2 a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - 2 a (b^2 - b c + c^2))\\ (a - c) (a^3 -
a (b - c)^2 + (b - c) (2 b - c) (b + c) - a^2 (2 b + c))\\ -(a - b) (a^3 - a (b - c)^2 + (b - 2 c) (b - c) (b + c) - a^2 (b + 2 c))\end{array}\right]^t \times \left[\begin{array}{c} 2a^2 & - a^2 - b^2 + c^2 & - a^2 + b^2 - c^2\\ - a^2 - b^2 + c^2 & 2b^2 & a^2 - b^2 - c^2\\ - a^2 + b^2 - c^2 & a^2 - b^2 - c^2 & 2c^2\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right] = 0.$

Ainsi, les droites $(NaN)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.

Amicalement

Bonjour,

J'avais fait comme ça en barycentriques, mais Bouzar m'a devancé:

% Jean-Louis Ayme - 08 Juillet 2021 - Deux perpendiculaires sous une condition
% Méthode barycentrique

clear all, clc

syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC

%-----------------------------------------------------------------------

% Centre N du cercle d'Euler du triangle ABC

N=[a^2*(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2; b^2*(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2; c^2*(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2];

% Point de Nagel du triangle ABC

Na=[-a+b+c; -b+c+a; -c+a+b];

%-----------------------------------------------------------------------

% Matrice de Gram du triangle ABC

Gram=[2*a^2 c^2-a^2-b^2 b^2-c^2-a^2; c^2-a^2-b^2 2*b^2 a^2-b^2-c^2; b^2-c^2-a^2 a^2-b^2-c^2 2*c^2];

NNa=Wedge(N,Na); % Droite (N Na)
BC=[1, 0, 0]; % Droite (BC)

NulOrtho=Factor(NNa*Gram*BC.') % On écrit que les deux droites sont orthogonales

% On trouve:

NulOrtho = -(b - c)*(a + b + c)^2*(a + b - c)*(a - b + c)*(b - a + c)*(b - 4*a + c);

% Il y a b-4*a+c en facteur, donc c'est gagné !

Cordialement,

Rescassol