Triangle isocèle

% Bouzar - 10 Juillet 2021 - Triangle isocèle 

clc, clear all, close all

syms a b c

aB=1/a;  % Conjugués
bB=1/b;
cB=1/c;

%-----------------------------------------------------------------------

% Point d'intersection D de (BC) et (OA)
[d dB]=IntersectionDeuxDroites(1,b*c,-b-c,aB,-a,0);
d=Factor(d) % On trouve d = a^2*(b + c)/(a^2 + b*c)

% Point d'intersection S de la parallèle à (AB) passant par D et de (OB)
[s sB]=IntersectionDeuxDroites(1,a*b,-d-a*b*dB,bB,-b,0);
s=Factor(s) % On trouve s = a*b*(b + c)/(a^2 + b*c)

% Point d'intersection T de (AS) et (BC)
[pas qas ras]=DroiteDeuxPoints(a,s,aB,sB); % Droite (AS)
[t tB]=IntersectionDeuxDroites(pas,qas,ras,1,b*c,-b-c);
t=Factor(t) % On trouve t = a*(b + c)/(a + c)

% Condition de cocyclicité de O,D,S,T
Bi=Birapport(0,d,s,t);
BiB=Birapport(0,dB,sB,tB);
NulBi=Factor(Bi-BiB) % Nul si le birapport est réel
% On trouve NulBi = (- a^2 + b*c)/(a^2 + b*c)

% Or, le triangle ABC est isocèle en A si on a b/a = a/c
% qui est équivalent à a^2 = b*c
% D'où le résultat.