Olympiades 2021 - problème 3
Bonjour
Bien que ce ne soit certainement pas la solution qui était attendue, voilà une solution avec Morley inscrit de ce problème.
Ça n'a pas l'air commode.
Rescassol
Bien que ce ne soit certainement pas la solution qui était attendue, voilà une solution avec Morley inscrit de ce problème.
Ça n'a pas l'air commode.
% Problème 3 des olympiades mathématiques 2021 % lundi 19 et mardi 20 Juillet 2021 clc, clear all, close all % On part du triangle de contact UVW syms u v w syms uB vB wB % Conjugués uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit vB=1/v; wB=1/w; %----------------------------------------------------------------------- a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle b=2*w*u/(w+u); c=2*u*v/(u+v); aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués bB=2*wB*uB/(wB+uB); cB=2*uB*vB/(uB+vB); %----------------------------------------------------------------------- syms t real d=t*a; % Un point D de la A-bissectrice dB=t*aB; %----------------------------------------------------------------------- % Calcul de E syms e eB Nule=Factor((e-d)/(a-d)-(d-c)/(b-c)); Eqe=coeffs(numden(Nule),e,'All'); e=Factor(-Eqe(2)/Eqe(1)); NuleB=Factor((eB-dB)/(aB-dB)-(dB-cB)/(bB-cB)); EqeB=coeffs(numden(NuleB),eB,'All'); eB=Factor(-EqeB(2)/EqeB(1)); [pde qde rde]=DroiteDeuxPoints(d,e,dB,eB); [e eB]=IntersectionDeuxDroites(pde,qde,rde,vB,v,-2); e=Factor(e) % On trouve: e=2*v*w*((u+v)*(u^2+v*w)*t^2 - (u+v)*(u+w)*(v+w)*t + u*(v+w)^2)/((v+w)*(u-w)*((u+v)*(u+w)*t - u*(v+w))); %----------------------------------------------------------------------- % Calcul de F syms f fB Nulf=Factor((f-d)/(a-d)-(d-b)/(c-b)); Eqf=coeffs(numden(Nulf),f,'All'); f=Factor(-Eqf(2)/Eqf(1)); NulfB=Factor((fB-dB)/(aB-dB)-(dB-bB)/(cB-bB)); EqfB=coeffs(numden(NulfB),fB,'All'); fB=Factor(-EqfB(2)/EqfB(1)); [pdf qdf rdf]=DroiteDeuxPoints(d,f,dB,fB); [f fB]=IntersectionDeuxDroites(pdf,qdf,rdf,wB,w,-2); f=Factor(f) % On trouve: f=2*v*w*((u+w)*(u^2+v*w)*t^2 - (u+v)*(u+w)*(v+w)*t + u*(v+w)^2)/((v+w)*(u-v)*((u+v)*(u+w)*t - u*(v+w))); %----------------------------------------------------------------------- % Calcul de X, point d'intersection de la A-bissectrice % et de la médiatrice de [BC] [pmed qmed rmed]=Mediatrice(b,c,bB,cB); [x xB]=IntersectionDeuxDroites(vB,v,-2,pmed,qmed,rmed); x=Factor(x) % On trouve: x=2*u*v*(u*(u^2+v*w)+w*(u^2+v^2))/((u^2+v^2)*(u+v)*(u+w)); %----------------------------------------------------------------------- % Centres des cercles circonscrits aux triangles ADC et EXD [o1 o1B]=CentreCercleCirconscrit(a,d,c,aB,dB,cB); [o2 o2B]=CentreCercleCirconscrit(e,x,d,eB,xB,dB); o1=Factor(o1) o2=Factor(o2) % On trouve: o1=2*v*w*(v*(u+v)*t + u*(v+w))/((u+v)*(v+w)^2); o2=2*u*v*w*(u*(u^2+v^2)*(u+v)^2*(u+w)*t^2 - (u+v)*(v+w)*(u^4 + 2*u^3*w + u^2*v^2 + u^2*w^2 + u*v^2*w + u*v*w^2 + v^2*w^2)*t + u*(v+w)^2*(u*(u^2+v*w)+w*(u^2+v^2)))/((u^2+v^2)*(u+v)*(u+w)*(v+w)*(u-w)*((u+v)*(u+w)*t - u*(v+w))); %----------------------------------------------------------------------- % Les droites (BC), (EF) et (O1 O2) sont concourantes [pef qef ref]=DroiteDeuxPoints(e,f,eB,fB); [po qo ro]=DroiteDeuxPoints(o1,o2,o1B,o2B); Mat=[1 u^2 -2*u; pef qef ref; po qo ro]; Nul=Factor(det(Mat)) % Égal à 0 donc c'est gagné !!... % Le point de concours M est: [m mB]=IntersectionDeuxDroites(pef,qef,ref,1,u^2,-2*u); m=Factor(m) % On trouve: m=2*u*v*w*(u*(u+v)*(u+w)*t^2 - (u+v)*(u+w)*(v+w)*t + u*(v+w)^2)/((v+w)*(u^2-v*w)*((u+v)*(u+w)*t - u*(v+w)));Cordialement,
Rescassol
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Réponses
Quel est l’énoncèrent ce problème?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je précise que quand le point $D$ varie sur la $A-$bissectrice du triangle $ABC$, la droite $(EF)$ reste parallèle à une direction fixe qui est orthogonale au vecteur $\overrightarrow{IS}$, où $I$ est le centre du cercle inscrit et $S\left(\dfrac{vw}{u}\right)$.
Cordialement,
Rescassol
Edit: C'est aussi la direction de la tangente en $A$ au cercle circonscrit au triangle $ABC$.
En fait ce qui est dur dans cet exercice, c'est de faire la figure.
De plus comme les angles utilisés sont les angles camemberts, cela a contraint l'auteur de l'énoncé à des contorsions grotesques et à des mesures de confinement inutiles.
Tu as dit que la droite $EF$ restait parallèle à une direction fixe mais les droites $DE$ et $DF$ restent aussi tangentes à des paraboles de définition très simple!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je ne sais pas si cela a un intérêt pour ce problème mais $B,C,E,F$ sont cocycliques; ainsi la droite $EF$ est antiparallèle à $BC$.
Amicalement. Poulbot
Oui, Pappus, par exemple pour la droite $(DE)$, je trouve la parabole de foyer $C$ et de directrice la droite d'équation $(u+v)(u^2z-v^2w^2\overline{z})-2uvw(u-v)=0$.
Je ne vois pas comment définir cette droite de façon simple, à part dire qu'elle est orthogonale à la direction de $(EF)$.
Cette parabole est tangente à la $A-$bissectrice en son pied.
Cordialement,
Rescassol
On se donne le cercle $(C_1)$ de centre $O_1$, $(C_2)$ de centre $O_2$ qui se coupent en $D$ et $G$, voir figure. Soit un point $A\in (C_1)
$ et $X\in (C_2)$ tel que la droite $(XA)$ coupent $(C_1)$ resp. $(C_2)$ en $C$ resp. $E$.
Soit $(C_3)$ le cercle de centre $X$ et de rayon $[XC]$.
Soit $C'$ le reflété de $C$ par rapport à $ (AD)$, $(AC')\cap (C_3)=B$ et $(O_1O_2)\cap (BC)=M$. Enfin $(ME)\cap (AB)=F.$
Démontrer que $$\widehat{ADE}=\widehat{DCB} \Longleftrightarrow \widehat{ADF}=\widehat{DBC}. $$
Edit (rien de direct)
Une parabole dont tu connais un foyer $F\ $, un point $M\ $ et la tangente $T\ $ en ce point est entièrement connue.
Sa directrice se construit immédiatement.
L'autre parabole, celle qui enveloppe la droite $DF$, a pour foyer $B$ et est aussi tangente à la $A$-bissectrice en son pied.
Ces remarques donnent des droites $DE$ et $DF$ une construction un peu moins cauchemardesque que celle de l'énoncé!
Quelles constructions?
Mais au fait pourquoi ces paraboles?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Peut-être, mais je ne connais pas cette construction.
Voilà néanmoins une figure partielle avec les deux paraboles et leurs directrices tracées à l'aide de leurs équations complexes.
$N_e$ et $N_f$ sont les points caractéristiques des droites $(DE)$ et $(DF)$ sur les paraboles.
J'ai vérifié par le calcul que la droite $(N_eN_f)$ est parallèle à la direction de $(EF)$.
Cordialement,
Rescassol
Etonnant!
Un bachelier d'il y a soixante dix ans aurait répondu immédiatement puisque c'est une question de cours!
Le symétrique $H$ du foyer $F$ par rapport à la tangente $T\ $ est sur la directrice $D$, laquelle est la droite perpendiculaire à $MH\ $ en $H\ $.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Maintenant que tu le dis, ça a l'air évident. Je l'ai peut-être su autrefois.
Cordialement,
Rescassol
Edit: Et bien sûr, les deux points $H$ de notre figure sont sur $(AB)$ et $(AC)$.
ce joli problème est en fait la synthèse deux problèmes...
Le premier basé sur les conséquences de la cocyclité des points B, C, E et F comme l'a remarqué Poulbot...
Le second s'appuyant le développement d'une simple construction des points E et F...
La synthèse de ces deux approches met en œuvre la relation ''différence deux deux carrés''...
Je commence la rédaction...
Sincèrement
jean-Louis
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/OIM 2021.pdf
Sincèrement
Jean-Louis