Olympiades 2021 - problème 3

% Problème 3 des olympiades mathématiques 2021 
% lundi 19 et mardi 20 Juillet 2021

clc, clear all, close all

% On part du triangle de contact UVW

syms u v w
syms uB vB wB % Conjugués

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v;
wB=1/w;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle 
b=2*w*u/(w+u);
c=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);

%-----------------------------------------------------------------------

syms t real

d=t*a;     % Un point D de la A-bissectrice
dB=t*aB;

%-----------------------------------------------------------------------

% Calcul de E

syms e eB

Nule=Factor((e-d)/(a-d)-(d-c)/(b-c));
Eqe=coeffs(numden(Nule),e,'All');
e=Factor(-Eqe(2)/Eqe(1));

NuleB=Factor((eB-dB)/(aB-dB)-(dB-cB)/(bB-cB));
EqeB=coeffs(numden(NuleB),eB,'All');
eB=Factor(-EqeB(2)/EqeB(1));

[pde qde rde]=DroiteDeuxPoints(d,e,dB,eB);
[e eB]=IntersectionDeuxDroites(pde,qde,rde,vB,v,-2);

e=Factor(e)

% On trouve:

e=2*v*w*((u+v)*(u^2+v*w)*t^2 - (u+v)*(u+w)*(v+w)*t + u*(v+w)^2)/((v+w)*(u-w)*((u+v)*(u+w)*t - u*(v+w)));

%-----------------------------------------------------------------------

% Calcul de F

syms f fB

Nulf=Factor((f-d)/(a-d)-(d-b)/(c-b));
Eqf=coeffs(numden(Nulf),f,'All');
f=Factor(-Eqf(2)/Eqf(1));

NulfB=Factor((fB-dB)/(aB-dB)-(dB-bB)/(cB-bB));
EqfB=coeffs(numden(NulfB),fB,'All');
fB=Factor(-EqfB(2)/EqfB(1));

[pdf qdf rdf]=DroiteDeuxPoints(d,f,dB,fB);

[f fB]=IntersectionDeuxDroites(pdf,qdf,rdf,wB,w,-2);

f=Factor(f)

% On trouve:

f=2*v*w*((u+w)*(u^2+v*w)*t^2 - (u+v)*(u+w)*(v+w)*t + u*(v+w)^2)/((v+w)*(u-v)*((u+v)*(u+w)*t - u*(v+w)));

%-----------------------------------------------------------------------

% Calcul de X, point d'intersection de la A-bissectrice 
% et de la médiatrice de [BC]

[pmed qmed rmed]=Mediatrice(b,c,bB,cB);

[x xB]=IntersectionDeuxDroites(vB,v,-2,pmed,qmed,rmed);

x=Factor(x)

% On trouve:

x=2*u*v*(u*(u^2+v*w)+w*(u^2+v^2))/((u^2+v^2)*(u+v)*(u+w));

%-----------------------------------------------------------------------

% Centres des cercles circonscrits aux triangles ADC et EXD

[o1 o1B]=CentreCercleCirconscrit(a,d,c,aB,dB,cB);
[o2 o2B]=CentreCercleCirconscrit(e,x,d,eB,xB,dB);

o1=Factor(o1)
o2=Factor(o2)

% On trouve:

o1=2*v*w*(v*(u+v)*t + u*(v+w))/((u+v)*(v+w)^2);
o2=2*u*v*w*(u*(u^2+v^2)*(u+v)^2*(u+w)*t^2 - (u+v)*(v+w)*(u^4 + 2*u^3*w + u^2*v^2 + u^2*w^2 + u*v^2*w + u*v*w^2 + v^2*w^2)*t + u*(v+w)^2*(u*(u^2+v*w)+w*(u^2+v^2)))/((u^2+v^2)*(u+v)*(u+w)*(v+w)*(u-w)*((u+v)*(u+w)*t - u*(v+w)));

%-----------------------------------------------------------------------

% Les droites (BC), (EF) et (O1 O2) sont concourantes

[pef qef ref]=DroiteDeuxPoints(e,f,eB,fB);
[po qo ro]=DroiteDeuxPoints(o1,o2,o1B,o2B);

Mat=[1 u^2 -2*u; pef qef ref; po qo ro];

Nul=Factor(det(Mat)) % Égal à 0 donc c'est gagné !!...

% Le point de concours M est:

[m mB]=IntersectionDeuxDroites(pef,qef,ref,1,u^2,-2*u);
m=Factor(m)

% On trouve:

m=2*u*v*w*(u*(u+v)*(u+w)*t^2 - (u+v)*(u+w)*(v+w)*t + u*(v+w)^2)/((v+w)*(u^2-v*w)*((u+v)*(u+w)*t - u*(v+w)));