Partie 1 du problème 3 de OIM 2021

Merci Jean-Louis
Voici mon énoncé de ton problème et plus précisément un énoncé d'une généralisation de ton problème,
Cette fois-ci plus d'inégalité inutile comme $AB<AC$, plus de segments où les points $E$ et $F$ devraient se confiner inutilement, plus d'angles dont plus personne ne connait la définition et surtout plus de ces bissectrices dont Swingmustard semble raffoler!
Il n'y a plus que des points, des droites et des cercles!
On se donne donc un triangle $ABC$ et dans son plan un point $D$ à peu prés n'importe où pour que l'intersection $A'=AD\cap BC$ existe.
La tangente en $D\ $ au cercle circonscrit au triangle $A'CD\ $ coupe la droite $AC$ en $E.\qquad$
La tangente en $D\ $ au cercle circonscrit au triangle $A'BD\ $ coupe la droite $AB$ en $F.\qquad$
La droite $EF\ $ coupe la droite $BC\ $ en $T.\qquad$
Montrer que la droite $DT$ est la tangente en $D\ $ au cercle circonscrit au triangle $BCD.\qquad$
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour Jean-Louis
A jamais confiné dans ton ile, Covid ou pas Covid.
Il y a quand même un aspect intéressant dans les dictatures dont je ne sais pas trop s'il est positif ou négatif!
Les gens qui y vivent n'ont certainement pas beaucoup le temps pour s'inquiéter du Covid.
Ils ont des préoccupations beaucoup beaucoup plus vitales!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir pappus et Jean-Louis,

J'utilise les coordonnées barycentriques.

Le triangle de référence ABC:

$A, B, C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\0\\ 1\end{array}\right].$

Le point D :

$D \simeq \left[\begin{array}{c} p\\ q\\ r\end{array}\right].$

Le cercle circonscrit au triangle A'CD et le point E :

$\small -(c^2 q^2-(a^2 - b^2 - c^2) q r + b^2 r^2) x^2-a^2 r (p + q + r) y^2+(c^2 p q - (a^2 - c^2) p r - (b^2 -c^2) q r -( a^2 + b^2-c^2) r^2) x y$
$+(b^2 p q +( b^2 - c^2) q^2 + b^2 p r +( a^2 + b^2 - c^2) q r) x z+a^2 q (p + q + r) y z=0.$

$ E\simeq \left[\begin{array}{c} -(b^2 p (p + q) + q (-c^2 p + a^2 (p + q))) (q + r)\\ 0\\ -p (c^2 q (q + r) + r (-a^2 q + b^2 (q + r)))\end{array}\right].$

Le point F :

$F\simeq \left[\begin{array}{c} (q + r) (c^2 p (p + r) + r (-b^2 p + a^2 (p + r)))\\ p (c^2 q (q + r) + r (-a^2 q + b^2 (q + r)))\\ 0\end{array}\right].$

Le point T :

$T \simeq \left[\begin{array}{c} 0\\-b^2 p (p + q) - q (-c^2 p + a^2 (p + q))\\ c^2 p (p + r) + r (-b^2 p + a^2 (p + r))\end{array}\right].$

La droite $(DT)$ :

$(c^2 p^2 q + b^2 p^2 r + 2 a^2 p q r + a^2 q^2 r + a^2 q r^2)x -p (c^2 p^2 + (a^2- b^2 + c^2) p r + a^2 r^2)y -p (b^2 p^2 +( a^2 + b^2 - c^2 )p q + a^2 q^2)z=0.$

Le cercle BCD :

$-(c^2 p q + b^2 p r + a^2 q r) x^2+(c^2 p^2 - b^2 p r + c^2 p r - a^2 q r) x y+(b^2 p^2 + b^2 p q - c^2 p q - a^2 q r) x z+a^2 p (p + q + r) y z=0.$

Le centre O' du cercle BCD :

$O' \simeq \left[\begin{array}{c} -a^2 (-p (b^2 (p + q - r) + c^2 (p - q + r)) +a^2 (p^2 + 2 q r + p (q + r)))\\ -(b^2 - c^2) p (-c^2 q + b^2 (p + q)) + a^4 q r + a^2 (c^2 q (p - r) + b^2 (p^2 + p q + 2 p r + q r))\\ a^4 q r - (b^2 - c^2) p (b^2 r - c^2 (p + r)) + a^2 (b^2 (p - q) r + c^2 (p^2 + 2 p q + p r + q r))\end{array}\right].$

La droite (O'D)$ :

$(a^4 q r (-q + r) - (b^2 - c^2) p^2 (c^2 q + b^2 r) + a^2 (b^2 r (p^2 + 2 p r + q (q + r)) -c^2 q (p^2 + 2 p q + r (q + r))))x $
$+( ((b^2 - c^2) p + a^2 (p + 2 q)) (c^2 p (p + r) + r (-b^2 p + a^2 (p + r))))y$
$+(-(b^2 p (p + q) + q (-c^2 p + a^2 (p + q))) ((-b^2 + c^2) p + a^2 (p + 2 r)))z=0.$

On a :

$\small \left[\begin{array}{c}c^2 p^2 q + b^2 p^2 r + 2 a^2 p q r + a^2 q^2 r + a^2 q r^2\\ -p (c^2 p^2 + (a^2- b^2 + c^2) p r + a^2 r^2)\\ a^2 + b^2 - c^2 )p q + a^2 q^2\end{array}\right]^t \times \left[\begin{array}{c} 2a^2 & - a^2 - b^2 + c^2 & - a^2 + b^2 - c^2\\ - a^2 - b^2 + c^2 & 2b^2 & a^2 - b^2 - c^2\\ - a^2 + b^2 - c^2 & a^2 - b^2 - c^2 & 2c^2\end{array}\right] \times$
$ \left[\begin{array}{c} a^4 q r (-q + r) - (b^2 - c^2) p^2 (c^2 q + b^2 r) + a^2 (b^2 r (p^2 + 2 p r + q (q + r)) -c^2 q (p^2 + 2 p q + r (q + r)))\\ ((b^2 - c^2) p + a^2 (p + 2 q)) (c^2 p (p + r) + r (-b^2 p + a^2 (p + r)))\\ -(b^2 p (p + q) + q (-c^2 p + a^2 (p + q))) ((-b^2 + c^2) p + a^2 (p + 2 r))\end{array}\right] = 0.$

Ainsi, les droites $(O'D)$ et $(DT)$ sont perpendiculaires.
En conclusion, la droite $(DT)$ est la tangente en $D$ au cercle circonscrit au triangle $BCD.$

Amicalement