Bonjour,
Pourquoi $Y(f\circ \phi)=(\phi_*Yf)\circ \phi$ ?
$Y$ est un champ de vecteurs, $f$ une fonction $\mathscr C ^\infty$ et $\phi_*$ est la poussé en avant.
Merci d'avance.
Mon cher Hsrn
Peux-tu nous rafraichir la mémoire et nous rappeler la définition de la poussée en avant?
On se croirait au rugby, c'est marrant!
Amicalement
[small]p[/small]appus
La définition que je connais de la poussé en avant d'un champ de vecteurs $Y$ est la suivante :
$$(\phi_* Y)(f)=Y(f\circ \phi)$$
Mais je ne comprends pas pourquoi on a $Y(f\circ \phi)=(\phi_*Yf)\circ \phi$
Mon cher Hsrn
Cela peut sembler évident à nous deux mais ça l'est beaucoup moins pour tes lecteurs!
Qu'appelles-tu $\varphi?\qquad$
Est-ce une application?
Si oui, elle va de quoi dans quoi et quelles sont ses propriétés?
Amicalement
[small]p[/small]appus
$\phi: M\to N$ une application différentiable, $M$ et $N$ sont deux variétés. Soient $p \in M$ et $T_pM$ le plan tangent à la variété $M$ en $p$. On définit la poussé en avant d'un champ de vecteurs $Y$, $$\phi_*: Y\in T_pM\mapsto \phi_*Y\in T_{\phi (p)}N,
$$ par $$(\phi_* Y)(f)=Y(f\circ \phi), \quad f\in C^\infty(N).$$
Bonjour,
L'égalité $(\phi_* Y)(f)=Y(f\circ \phi)$ ne peut pas être vraie car $\phi_* Y$ doit être un champ de vecteurs sur $N$ (notion de poussé en avant + $f\in {\cal C}^\infty(N)$), donc $(\phi_* Y)(f) \in{\cal C}^\infty(N)$, tandis que $Y(f\circ \phi)\in {\cal C}^\infty(M)$. Il faut revoir la définition.
Bonjour Hsrn
Ce que je comprends, c'est que ton push-forward c'est tout simplement l'image d'un champ de vecteur par un difféomorphisme.
Je pense qu'on a le droit de le dire ainsi en bon français.
Et ce que tu cherches à écrire, c'est comment le champ de vecteur-image sur $N$ opère sur l'anneau des fonctions définies sur $N$.
Il faut te rappeler la définition de la notation $X(f)$ c'est à dire comment le champ $X$ opère comme dérivation sur l'anneau des fonctions!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bonjour à tous
Un petit diagramme commutatif pour comprendre ce qui se passe:
$$\xymatrix{
M\ar[r]^\varphi\ar[d]_{f.\varphi}&N\ar[ld]^f\\
\mathbb R}
$$
En fait je ne me suis intéressé à la question de Hsrn que parce qu'elle me donnait l'occasion d'écrire un diagramme commutatif en forme de triangle.
J'y suis arrivé sans l'aide de AD que je salue, je ne suis pas mécontent de moi et j''espère que ce diagramme aidera Hsrn quand il se souviendra de la définition de la dérivée de Lie $X(f)$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Je suis presque content car je ne suis pas arrivé à mettre $f$ en dessous de la flèche descendante allant de $N$ vers $\mathbb R$.
Une idée, AD? Tu as dû me le dire mais j'ai oublié
Ben si, j'y suis arrivé par tâtonnements et erreurs !
Bonjour à tous
Je vais essayer de démontrer la formule de Hsrn
Je prends un risque après avoir quitté la théorie des variétés depuis des décennies!
Logiquement on se donne le champ $X$ sur la variété $M$ et on appelle $Y\ $ le champ-image obtenu sur la variété $N$ via le difféomorphisme $\varphi$.
Hsrn a lui permuté les lettres $X$ et $Y$, c'est son droit le plus strict.
Mais je préfère noter alphabétiquement les champs dans l'ordre où ils apparaissent.
A vrai dire je ne sais pas trop s'il faut appeler $Y$ le champ image.
Je crois qu'on dit aussi que le champ $Y$ sur $N\ $ est obtenu par transport du champ $X$ défini sur $M\ $ par le difféomorphisme $\varphi\ $
Comme tous les objets qu'on manipule sont locaux, on peut travailler dans des cartes locales c'est à dire dans des ouverts d'espace vectoriels
Comme je suis très très paresseux, je ne change pas mes notations et je considère que $M$ et $N$ sont des ouverts du même espace vectoriel.
Je note $g=f.\varphi\ $
On a donc:
$$X(g)(x)=dg(x)(X(x))=d(f.\varphi)(x)(X(x))=df(\varphi(x)).D\varphi(x)(X(x))\qquad$$
Mais par définition:
$$Y(\varphi(x))=D\varphi(x)(X(x))\qquad$$
Donc:
$$X(g)(x)=Y(f)(\varphi(x))\qquad$$
Comme Hsrn a décidé noter le champ transporté $Y=\varphi_*.X$
on a donc:
$$(\varphi_*X)(f).\varphi=X(f.\varphi)\qquad$$
Amicalement
[small]p[/small]appus
Mon cher Niser
Il n'y a pas que les champs de vecteurs.
C'est toute l'algèbre tensorielle sur la variété $M$ qu'on transporte sur la variété $N$ au moyen de ce difféomorphisme!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Réponses
Peux-tu nous rafraichir la mémoire et nous rappeler la définition de la poussée en avant?
On se croirait au rugby, c'est marrant!
Amicalement
[small]p[/small]appus
$$(\phi_* Y)(f)=Y(f\circ \phi)$$
Mais je ne comprends pas pourquoi on a $Y(f\circ \phi)=(\phi_*Yf)\circ \phi$
Cela peut sembler évident à nous deux mais ça l'est beaucoup moins pour tes lecteurs!
Qu'appelles-tu $\varphi?\qquad$
Est-ce une application?
Si oui, elle va de quoi dans quoi et quelles sont ses propriétés?
Amicalement
[small]p[/small]appus
$$ par $$(\phi_* Y)(f)=Y(f\circ \phi), \quad f\in C^\infty(N).$$
$\varphi:M\mapsto N\ $ ne devrait-il pas être un difféomorphisme?
Amicalement
[small]p[/small]appus
L'égalité $(\phi_* Y)(f)=Y(f\circ \phi)$ ne peut pas être vraie car $\phi_* Y$ doit être un champ de vecteurs sur $N$ (notion de poussé en avant + $f\in {\cal C}^\infty(N)$), donc $(\phi_* Y)(f) \in{\cal C}^\infty(N)$, tandis que $Y(f\circ \phi)\in {\cal C}^\infty(M)$. Il faut revoir la définition.
Ce que je comprends, c'est que ton push-forward c'est tout simplement l'image d'un champ de vecteur par un difféomorphisme.
Je pense qu'on a le droit de le dire ainsi en bon français.
Et ce que tu cherches à écrire, c'est comment le champ de vecteur-image sur $N$ opère sur l'anneau des fonctions définies sur $N$.
Il faut te rappeler la définition de la notation $X(f)$ c'est à dire comment le champ $X$ opère comme dérivation sur l'anneau des fonctions!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Un petit diagramme commutatif pour comprendre ce qui se passe:
$$\xymatrix{
M\ar[r]^\varphi\ar[d]_{f.\varphi}&N\ar[ld]^f\\
\mathbb R}
$$
En fait je ne me suis intéressé à la question de Hsrn que parce qu'elle me donnait l'occasion d'écrire un diagramme commutatif en forme de triangle.
J'y suis arrivé sans l'aide de AD que je salue, je ne suis pas mécontent de moi et j''espère que ce diagramme aidera Hsrn quand il se souviendra de la définition de la dérivée de Lie $X(f)$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Je suis presque content car je ne suis pas arrivé à mettre $f$ en dessous de la flèche descendante allant de $N$ vers $\mathbb R$.
Une idée, AD? Tu as dû me le dire mais j'ai oublié
Ben si, j'y suis arrivé par tâtonnements et erreurs !
[(tu) AD :-)]
Je vais essayer de démontrer la formule de Hsrn
Je prends un risque après avoir quitté la théorie des variétés depuis des décennies!
Logiquement on se donne le champ $X$ sur la variété $M$ et on appelle $Y\ $ le champ-image obtenu sur la variété $N$ via le difféomorphisme $\varphi$.
Hsrn a lui permuté les lettres $X$ et $Y$, c'est son droit le plus strict.
Mais je préfère noter alphabétiquement les champs dans l'ordre où ils apparaissent.
A vrai dire je ne sais pas trop s'il faut appeler $Y$ le champ image.
Je crois qu'on dit aussi que le champ $Y$ sur $N\ $ est obtenu par transport du champ $X$ défini sur $M\ $ par le difféomorphisme $\varphi\ $
Comme tous les objets qu'on manipule sont locaux, on peut travailler dans des cartes locales c'est à dire dans des ouverts d'espace vectoriels
Comme je suis très très paresseux, je ne change pas mes notations et je considère que $M$ et $N$ sont des ouverts du même espace vectoriel.
Je note $g=f.\varphi\ $
On a donc:
$$X(g)(x)=dg(x)(X(x))=d(f.\varphi)(x)(X(x))=df(\varphi(x)).D\varphi(x)(X(x))\qquad$$
Mais par définition:
$$Y(\varphi(x))=D\varphi(x)(X(x))\qquad$$
Donc:
$$X(g)(x)=Y(f)(\varphi(x))\qquad$$
Comme Hsrn a décidé noter le champ transporté $Y=\varphi_*.X$
on a donc:
$$(\varphi_*X)(f).\varphi=X(f.\varphi)\qquad$$
Amicalement
[small]p[/small]appus
Y a-t-il un analogue de tout cela si on travaille avec des formes différentielles ?
Il n'y a pas que les champs de vecteurs.
C'est toute l'algèbre tensorielle sur la variété $M$ qu'on transporte sur la variété $N$ au moyen de ce difféomorphisme!
Amicalement
[small]p[/small]appus