Jeu de milieux dans un triangle
dans Géométrie
Bonsoir à tous
Je vous propose la petite chose suivante.
Soit un triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de A, M le milieu de BC, D et E les milieux respectifs de HB et HC.
La parallèle à AB passant par E coupe AC en K, et la parallèle à AC passant par D coupe AB en J.
Quel est le lieu des points A tels que les perpendiculaires en J à AB et en K à AC se coupent en N, milieu de HM ?
(J'avoue : sur les deux figures suivantes, j'ai ajusté le point A "à la souris" ...)
Ayant essayé de voir ce qu'il en est, j'ai l'impression qu'il s'agit d'une ellipse ...
Je note aussi que, quand on fait bouger le point A, le milieu de HM est le seul point de BC en lequel les deux perpendiculaires peuvent se couper ; autrement dit, quand elles se coupent sur BC, c'est forcément en N.
Merci de votre intérêt !
Bien cordialement, JLB
Je vous propose la petite chose suivante.
Soit un triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de A, M le milieu de BC, D et E les milieux respectifs de HB et HC.
La parallèle à AB passant par E coupe AC en K, et la parallèle à AC passant par D coupe AB en J.
Quel est le lieu des points A tels que les perpendiculaires en J à AB et en K à AC se coupent en N, milieu de HM ?
(J'avoue : sur les deux figures suivantes, j'ai ajusté le point A "à la souris" ...)
Ayant essayé de voir ce qu'il en est, j'ai l'impression qu'il s'agit d'une ellipse ...
Je note aussi que, quand on fait bouger le point A, le milieu de HM est le seul point de BC en lequel les deux perpendiculaires peuvent se couper ; autrement dit, quand elles se coupent sur BC, c'est forcément en N.
Merci de votre intérêt !
Bien cordialement, JLB
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Réponses
C'est facile (à priori) quand tu trouves les coordonnées de $N$ de tirer la condition sur les point $A$, $B$ et $C$ pour que $N\in[BC]$. Je n'ai pas tout calculé mais c'est un ex bien tenu...
Et merci de ton intérêt pour ce petit exo et de ton message !
Effectivement, la voie, relativement simple, que tu indiques est bien celle à laquelle je pensais, en première approche, à la portée d'un lycéen ...
Je ne me suis pas encore lancé dans ces calculs, disons que je vais m'y mettre "incessamment sous peu" ...
Mais j'aimerais bien savoir s'il y a une solution moins "calculatoire" ...
Bien amicalement
JLB
PS : Tu aurais dû écrire ainsi la première partie de la dernière phrase de ton message : "Je n'ai pas tout calculé, mais ..." Grammaticalement, c'est une horreur, mais heureusement, ça n'empêche pas de comprendre ! Et comme je crois savoir que tu n'es pas "francophone" ...
Je pense que ton ellipse est en fait le cercle de centre $M$ et de rayon $MB\sqrt{3}$.
Bien cordialement. Poulbot
Apparemment la courbe n'est ni une ellipse, ni un cercle mais plutôt une courbe de degré 4.
Par ailleurs, si on remplace HD/HB = HE/HC = 0.5 par HD/HB = HE/HC = k, on a aussi HN/HM=k. (Pour ABC fixe, l'intersection des perpendiculaires en J et K décrit une droite quand k varie)
Bon courage pour le calcul.
PL
GGB confirme l'hypothèse de Poulbot.
Merci beaucoup, Poulbot, PL et Ludwig !
Poulbot, j'avais parlé d'une ellipse "en général", car n'ayant fait aucun calcul, je m'étais contenté de "balader à la souris" le point A pour voir dans quelle région du plan il pouvait se situer pour que mes conditions soient respectées, et j'en avais déduit que le lieu devait ressembler peu ou prou à un cercle ou une ellipse ...
Ludwig, j'avoue que dans un cas comme celui-ci où je définis un lieu par une condition de résultat (A tel que ...), et non plus par une relation de dépendance directe entre deux points, je ne sais pas comment faire pour que GGB trace directement le lieu en question ... En effet, la commande "lieu" de GGB, dans la version dont je dispose, demande que soient spécifiés un point du lieu et le point dont il dépend ...
Bien cordialement
JLB
Alors on se dit qu'il s'agit d'un cercle, hypothèse facilement vérifiable. Une fois cela vérifié, rien de plus facile de déterminer son centre et son rayon, par exemple en prenant l'intersection de médiatrices; Pour terminer on reconstruit la figure à partir du cercle ainsi trouvé puis on demande à GGB de vérifier que c'est bien la solution. Et le tour est joué !
Bien cordialement
JLB
Voici la figure exacte de Jelobreuil
Ici
$$MA=BC\dfrac{\sqrt 3}2\qquad$$
Amicalement
[small]p[/small]appus
Grillé par Poulbot que je salue et dont j'espère qu'il passe des vacances bien méritées!
Voici la généralisation pour un ratio quelconque $a$ différent de 1 :
$a = \dfrac{DH}{BH} = \dfrac{EH}{CH} = \dfrac{NH}{MH} = \dfrac{PM}{BM}$
La médiatrice de PB coupe le cercle de diamètre BM en Q, et BQ donne R
$ \dfrac{RM}{BM} = tg \, \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{(1 - a^2)}}$
Comme dit Ludwig, c'est plus facile quand on sait ce qu'on doit trouver.
Cordialement
PL
p.s. Quelqu'un sait-il comment mettre un facteur d'échelle pour réduire la taille des figures ?
$$2Aire(ABN)=h\dfrac{3x+y}{4}=NJ\times (\sqrt{x^2+h^2}).$$
Par Thalès $\dfrac{BJ}{\sqrt{x^2+h^2}}=\dfrac{x}{2(x+y)}$
Enfin Par Pythagore nécessairement $BJ^2+NJ^2=BN^2$, on obtient une équation de second degré en $h^2$; $P(h^2,x,y)=0$ soit $$4x^2(x^2+h^2)^2+h^2(3x+y)^2(x+y)^2-(3x+y)^2(x+y)^2(x^2+h^2)=0$$
Dans l'exemple si joint $x=5$, $y=10$, $h\approx 12.7$. Il y a une certaine symétrie entre $x,y$...
Une fois trouvé c'est simple de trouver le cercle de JLB. On peut adapter à la généralisation de PGL...
Edit 2
Cordialement