Jeu de milieux dans un triangle

Salut, vous pouvez prendre un repère orthonormale d'origine $H$, puis disons $B(b,0)$ et $C(c,0)$. Le point $A(0,h)$ variable. Trouvant les coordonnées de $J$ puis $K$ et ensuite celle de $N$, on obtient un lieu de $N$ ressemblant à une hyperbole en variant $h$. En fait je doute que c'est une hyperbole parce qu'il y en a une seul branche si $h>0$ puis sa réflexion pour $h<0$. Tu peux conclure là où elle coupe $(BC)$. En variant $b$ et $c$ on aura d'autres lieux pour $N$.

C'est facile (à priori) quand tu trouves les coordonnées de $N$ de tirer la condition sur les point $A$, $B$ et $C$ pour que $N\in[BC]$. Je n'ai pas tout calculé mais c'est un ex bien tenu...

Bonjour Jelobreuil
Je pense que ton ellipse est en fait le cercle de centre $M$ et de rayon $MB\sqrt{3}$.
Bien cordialement. Poulbot

Bonjour,

GGB confirme l'hypothèse de Poulbot.

Je ne sais pas non plus comment tracer directement ce lieu avec GGB, et je crains d'ailleurs que cela soit impossible. Cela dit, on peut parfois conclure, sans connaître le résultat à l'avance. Ici par exemple, c'est possible. On part des points $B$, $C$, $M$. Et $H$ variable sur $(BC)$. On place $D$ et $E$ et on construit la figure pour un point $A$ variable sur la perpendiculaire à $(BC)$ passant par $H$. Les perpendiculaires en $J$ et $K$ se coupant en $N'$, on munit le point $A$ d'une vitesse égale à $NN'$. L'animation de ce point donnera un point du lieu, et animer $H$ en demandant la trace de $A$ une idée de la forme du lieu (voir ci-dessous ce que j'ai obtenu).
Alors on se dit qu'il s'agit d'un cercle, hypothèse facilement vérifiable. Une fois cela vérifié, rien de plus facile de déterminer son centre et son rayon, par exemple en prenant l'intersection de médiatrices; Pour terminer on reconstruit la figure à partir du cercle ainsi trouvé puis on demande à GGB de vérifier que c'est bien la solution. Et le tour est joué !

Bonjour à tous
Voici la figure exacte de Jelobreuil
Ici
$$MA=BC\dfrac{\sqrt 3}2\qquad$$
Amicalement
[small]p[/small]appus
Grillé par Poulbot que je salue et dont j'espère qu'il passe des vacances bien méritées!

Bonsoir, à nouveau, en fait ma première démarche est faisable (repère), tous ce qu'on (je) veux c'est de trouver la hauteur $h=AH$ en fonction des deux segments $HB=x$ et $HC=y$. Le calcul en deux pages et on aura les coordonnées du point $N$ pour annuler son ordonnée (pour que $N\in [BC]$) i.e. un polynôme au numérateur, $P(h^2,x,y)=0$ d'ou on tire $h$ (à priori), mais heureusement il y a un autre chemin en prenant l'égalité des aires. Edit (correction).
$$2Aire(ABN)=h\dfrac{3x+y}{4}=NJ\times (\sqrt{x^2+h^2}).$$
Par Thalès $\dfrac{BJ}{\sqrt{x^2+h^2}}=\dfrac{x}{2(x+y)}$
Enfin Par Pythagore nécessairement $BJ^2+NJ^2=BN^2$, on obtient une équation de second degré en $h^2$; $P(h^2,x,y)=0$ soit $$4x^2(x^2+h^2)^2+h^2(3x+y)^2(x+y)^2-(3x+y)^2(x+y)^2(x^2+h^2)=0$$

Dans l'exemple si joint $x=5$, $y=10$, $h\approx 12.7$. Il y a une certaine symétrie entre $x,y$...



Une fois trouvé c'est simple de trouver le cercle de JLB. On peut adapter à la généralisation de PGL...

Edit 2

Cordialement