Dan Pedoe, problème 2.1

Merci, Ludwig et Poulbot, pour ces documents très intéressants !
Bien cordialement
JLB

Bonjour Rescassol
Si j'ai bien suivi, c'est la longueur des côtés de $ABC$ que tu supposes égale à $1$ (et non le rayon du cercle circonscrit comme tu le fais la plupart du temps)
Bien cordialement. Poulbot

Re-bonjour Rescassol
"Lequel des deux est le plus "standard" ?" Peu importe pourvu que tu nous précises ton choix.
Ma préférence irait à $r=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}a$ , $a$ étant la longueur des côtés du trianglz
Bien cordialeement. Poubot

Bonjour, si vous voulez il y a une façon d'obtenir les longueurs de cette construction pour un triangle isocèle, le cas générale est un peu avancé.

Par exemple on peut démontrer assez élémentairement (surtout le cas équilatéral) qu'avec $ABC$ isocèle en $A$, $BC=1$ et $\widehat{BAC}=2\alpha$. Le point d'intersection $F$ des deux céviennes sur la hauteur $AH$ issue de $A$ vérifie $$FH=\dfrac{1}{4}\dfrac{\sqrt{-2\sin(\alpha)(-1+\sin(\alpha))}}{\sin(\alpha)}.
$$
Dans le calcul $F\in [AH]$ et ce n'est pas difficile de montrer que pour un triangle isocèle le point $F$ cherché est sur la hauteur issue de $A$ (en remarquant que les bissectrices intérieurs du quadrilatère tangentiel se coupent au centre du cercle) et sera donc unique.

En fait j'ai utilisé Maple mais le raisonnement est un paragraphe...si ça vous intéresse.
Maple donne aussi 8-) $$FH=0.25\cos(\alpha)\dfrac{\left(\sqrt{2}\sqrt{\dfrac{\sin(\alpha)+1}{\sin(\alpha)}}+2\right)}{1+\sqrt{2}\sin(\alpha)\sqrt{\dfrac{\sin(\alpha)+1}{\sin(\alpha)}}+\sin(\alpha)}.$$

Cordialement.