Une inversion géométrique conserve les cercle
Bonjour ! Je cherche une démonstration claire et précise que l'inversion en dimension 3 par rapport à O de rayon 1.
Càd l'application $f : x \to x/|x|^2$ transforme :
Les cercles qui ne passent pas par O en cercles ne passant pas par O
Pour les autres cas (cercles qui passent par O etc) je peux me ramener à la dimension 2 j'imagine.
Ce que j'ai fait de mon côté :
J'ai montré que $f$ est conforme en montrant qu'elle conservait le produit scalaire donc les angles.
Comment j'ai fait? J'ai montré que $J_f = C(x)I_3$ donc que si je prends 2 courbes régulières $a(t)$ et $b(t)$ ne passant pas par $O$ alors j'ai la relation pour tout $t$ entre les tangentes :
$\langle \frac{(f \circ a)'(t)}{||(f \circ a)'||} , \frac{(f \circ b)'(t)}{||(f \circ b)'(t)||} \rangle = \langle \frac{a'(t)}{||a'(t)||} , \frac{b'(t)}{||b'(t)||} \rangle$
Ensuite, si vous aviez une solution... Tout ce que je trouve en ligne élude plein de trucs ou considère plein de choses comme connues...
Càd l'application $f : x \to x/|x|^2$ transforme :
Les cercles qui ne passent pas par O en cercles ne passant pas par O
Pour les autres cas (cercles qui passent par O etc) je peux me ramener à la dimension 2 j'imagine.
Ce que j'ai fait de mon côté :
J'ai montré que $f$ est conforme en montrant qu'elle conservait le produit scalaire donc les angles.
Comment j'ai fait? J'ai montré que $J_f = C(x)I_3$ donc que si je prends 2 courbes régulières $a(t)$ et $b(t)$ ne passant pas par $O$ alors j'ai la relation pour tout $t$ entre les tangentes :
$\langle \frac{(f \circ a)'(t)}{||(f \circ a)'||} , \frac{(f \circ b)'(t)}{||(f \circ b)'(t)||} \rangle = \langle \frac{a'(t)}{||a'(t)||} , \frac{b'(t)}{||b'(t)||} \rangle$
Ensuite, si vous aviez une solution... Tout ce que je trouve en ligne élude plein de trucs ou considère plein de choses comme connues...
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Réponses
Un cercle ne passant pas par le pôle d’inversion est l’intersection de deux sphères ne passant pas par ce pôle.
Et on sait que cette inversion transforme ces deux sphères en deux si phères.
Donc…..
Amicalement
[small]p[/small]appus
Pourquoi les sphères?
Très bonne question!
Tout simplement parce que tout cercle est intersection de deux sphères.
Maintenant reste à transformer les sphères!
1° On peut le faire par le calcul. Et cela se fait sans la moindre difficulté à condition évidemment de connaître l'équation d'une sphère dans un repère orthonormé. Est-ce que cela est encore enseigné? Je n'en sais absolument rien!!!
2° On peut le faire aussi géométriquement
Soit $O$ le pôle d'inversion et $\Omega\ $ le centre de la sphère $S$ à transformer
Alors la sphère $S\ $ est une surface de révolution d'axe $O\Omega$ dont la méridienne est un cercle!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Mais je pense que montrer que l'image d'une sphère est une sphère doit être un foutoir analytiquement....
Pour la version géométrique, j'avoue avoir du mal, l'image d'une surface de révolution est une surface de révolution?
J'ai dit que le calcul de l'équation de l'image d'une sphère par inversion n'offrait aucune difficulté.
Aie donc le courage de faire ce calcul!
Je ne vais pas le faire à ta place !
La sphère $S\ $ est engendrée par la rotation d'un grand cercle $\Gamma$ autour de l'axe $O\Omega$.
Le plan de $\Gamma$ contient donc le pôle d'inversion et tu es ainsi ramené en 2D !
Amicalement
[small]p[/small]appus
Ok on est d'accord chaque cercle de la sphère dont le diamètre est sur $(O\Omega)$ a pour une image un cercle. Ok mais pourquoi du coup l'image serait pas par exemple un tore (c'est aussi un ensemble de cercles mis bout à bout) ou n'importe quoi d'autre?
Le cercle $\Gamma\ $ est un grand cercle de la sphère $S\ $ et un de ses diamètres est justement la droite $O\Omega\ $ autour de laquelle il tourne pour engendrer la sphère $S\ $.
C'est pas pour rien qu'une sphère est une surface de révolution et elle a un petit paquet d'axes.
J'entends déjà les râles d'extase que dis-je, d'épectase, de ceux qui s'aperçoivent que les axes de révolution de la sphère sont tous concourants au centre de la sphère. Pas trois droites concourantes mais une infinité! N'en jetez plus!
L'inverse du cercle $\Gamma\ $ est lui aussi un cercle $\Gamma'\ $ de diamètre $O\Omega$ et quand le cercle $\Gamma\ $ tourne autour de la droite $O\Omega\ $ pour engendrer la sphère $S\ $, le cercle $\Gamma'\ $ ne peut que le suivre et tourner autour de son diamètre $O\Omega\ $ pour engendrer la surface $S'\ $ inverse de la sphère $S\ $ et cette surface $S'\ $ ne peut être qu'une sphère puisqu'elle est engendrée par un cercle tournant autour d'un de ses diamètres!
Tout ceci peut se résumer en une phrase:
Une inversion de pôle $O\ $ commute avec toute rotation fixant $O\ $.
Amicalement
[small]p[/small]appus