Partition d'un carré en trois

Merci pour cette piste de réflexion. Il faudrait démontrer précisément que si deux parties ont un diamètre inférieur ou égal à 1, alors la troisième aura forcément un diamètre strictement supérieur à 1. Je ne vois pas comment rédiger une solution.

En effet, gerard0, je vois bien, c'est une excellente idée de faire intervenir ces deux sommets consécutifs $A$ et $B$ du champ carré $ABCD$. Le frère $1$ a une part incluse dans le triangle mixtiligne que tu as défini, et mettons que le frère $2 $ a dans sa part un point "infiniment proche" de $A$. Alors la part de ce frère $2$ sera "à peu près" incluse dans le quart de disque de centre $A$ et de rayon $1$, qui contient le triangle mixtiligne précédent. La part du frère $3$ contiendra le complémentaire de ce quart de disque, donc des points voisins de $B$ et $D$, à distance $ \simeq \sqrt 2$. Mais c'est encore dans l'à-peu-près.
Merci, on devrait trouver.

Bonsoir.
Je continue dans l'idée de gerard0.
Soit $ABCD $ le domaine carré à partager, de côté $1$. Supposons que chacune des trois parts a un diamètre inférieur ou égal à $1$. Comme il y a $3$ frères et $4$ sommets, un des frères aura $2$ sommets, et ce seront deux sommets consécutifs, sans quoi leur distance serait $>1$.
Mettons que c'est le frère $1$ qui a les sommets $A$ et $B$. Comme il a été dit par gerard0, la part du frère $1$ est donc incluse dans le triangle mixtiligne $AEB$ (voir la figure).
Soit un réel $\delta \in ]0,1[$, et soit $F$ le point de $AB$ tel que $AF=\delta$. Soit $KG$ le quart de cercle de centre $F$ et de rayon $1$ (voir la figure). Soit $N$ l'intersection de ce quart de cercle avec $CD$
Mettons que le frère $2$ a la part contenant le point $F$, alors cette part est incluse dans le pentagone mixtiligne $ABGND$, qui contient le triangle mixtiligne $AEB$ dont on a déjà parlé.
La part du frère $3$ contiendra le complémentaire de ce pentagone mixtiligne dans le carré $ABCD$, c'est-à-dire le le triangle mixtiligne $GCN$, en grisé sur la figure. On montre sans mal que $\lim_{\delta \rightarrow 0^+}GN=\sqrt 2$, et pour $\delta$ assez petit, la part du troisième frère aura donc un diamètre $>1$, ce qui contredit l'hypothèse.
Qu'en pensez-vous ?