Isométrie demi-plan/disque de Poincaré

ellister
ellister
dans Géométrie
Bonjour
Je travaille sur l'isométrie du demi-plan vers le disque de Poincaré
$$z \mapsto \displaystyle \frac{iz + 1}{z + i}.
$$ La question que je me pose est la suivante : comment montrer que c'est une isométrie ?
Dans le cours avec lequel je travaille (S.Katok), les métriques du demi-plan et du disque sont écrites de la façon suivante :
$$ \mathrm{d}s = \frac{\sqrt{\mathrm{d}x^{2} + \mathrm{d}y^2}}{y}
\qquad\text{et}\qquad
\mathrm{d}s = 2 \frac{\vert \mathrm{d}z \vert}{1-\vert z \vert^2}.
$$ Jusqu'ici tout va bien, je ne connaissais pas vraiment ces notations mais le passage à l'intégrale pour calculer la longueur d'un chemin est assez immédiat.
Pour montrer que $h$ est une isométrie, l'auteur demande de montrer l'égalité
$$\frac{2 \vert h'(z) \vert}{1- \vert h(z) \vert^2} = \frac{1}{y},
$$ ce que j'ai fait.
L'auteur conclut ensuite simplement que cela permet d'identifier les deux métriques entre elles. Dans l'idée je comprends à peu près mais je ne vois pas comment cela fonctionne réellement, vu que je ne comprends pas vraiment comment cette façon d'écrire les métriques fonctionne.
Merci pour votre aide !

Réponses

  • pappus
    pappus
    Mon cher ellister
    Je ne sais pas ce qui m'a pris mais je n'ai pu m'empêcher de faire ta figure.
    Soit $$f: z \mapsto z'=\dfrac{iz + 1}{z + i}.\qquad$$
    la bijection entre le demi-plan de Poincaré $\bf H$ et le disque de Poincaré $D$.
    Es-tu déjà d'accord avec cette figure?
    Quelle est la signification géométrique des arcs bleu et rouge?
    Connais-tu les définitions des distances hyperboliques dans le demi-plan $\bf H$: $d_H(p,q)=?$ et dans le disque $d_D(p',q')=?$
    Autrement dit comme ton professeur a-t-il défini ces deux modèles du plan hyperbolique?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus125796
  • ellister
    ellister
    Bonsoir,
    Oui je visualise bien, ce sont des géodésiques des deux modèles et l'un est l'image de l'autre par l'application évoquée. Je n'avais pas idée qu'on pouvait la modéliser comme ça d'ailleurs c'est très joli. Celui-ci me semble assez logique mais je ne sais pas comment vous l'obtenez, pourriez-vous m'expliquer ?
    Je suis assez débutant en la matière et je n'ai pas eu de cours à proprement parler, juste des livres à lire.
    La définition que j'ai de la distance est le min pris sur tous les chemins de la longueur des chemins entre les deux points. J'ai les formules avec des intégrales pour calculer la longueur des chemins dans les deux modèles
    $$L(\gamma) = \int_0^1 \frac{\left\lvert \frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t} \right\rvert}{y(t)}\mathrm{d}t,\qquad L(\gamma) = \int_0^1 \frac{\left\vert \frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t} \right\vert}{1- \left\vert \gamma \right\vert ^2} \mathrm{d}t.$$
  • pappus
    pappus
    Bonsoir ellister
    Tu aimes les calculs et moi je préfère plutôt les figures!
    Si j'ai bien compris, tes modèles sont vus comme des surfaces riemanniennes.
    Tu définis une métrique dans chaque plan tangent.
    Une petite intégration te donne la longueur d'une courbe différentiable joignant deux points $p$ et $q$ du modèle puis tu prends la borne inférieure de ces longueurs pour arriver à définir $d_H(p,q)$ et $d_D(p',q')$
    Sais-tu qu'on arrive à calculer effectivement sur ma figure ces deux distances?
    Inversement on peut partir des deux distances et montrer qu'on tombe sur des surfaces riemanniennes avec les métriques que tu as dites!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    PS
    Ma figure est exacte, cela va sans dire!
  • ellister
    ellister
    Bonsoir,
    Ah non non je préfère aussi les figures mais le cours que j'ai ne me laisse pas tellement le choix ! Je me demandais juste comment faire le lien entre cette figure et l'application que j'ai citée.
    Oui c'est comme ça que je fais. C'est seulement que je commence tout juste à comprendre le fonctionnement du genre de calculs qu'on doit faire quand on définit une métrique par des éléments infinitésimaux comme ça.
    Je ne doute pas des propriétés sympathiques de cette figure ! Je ne suis juste pas très habitué à dessiner (en géométrie, c'est cocasse certes).
  • pappus
    pappus
    Bonjour ellister
    Ma figure ne concerne pas vraiment la géométrie hyperbolique mais plutôt l'homographie:
    $$z'=f(z)=\dfrac{\imath z+1}{z+\imath}\qquad$$
    C'est ce qu'on appelle une transformation de Möbius.
    Je te conseille de consulter le fil voisin Transformations de Möbius où on en parle..
    Cette homographie a deux points fixes $-1\ $ et $1\ $ et deux points limites, le point limite objet $\imath\ $ ($f(-\imath)=\infty\ $) et le point limite image $\imath\ $ ($f(\infty)=\imath\ $).
    Ces quatre points forment un carré, ce qui entraine que $f\ $ est d'ordre $4\ $.
    Si tu disposes de GeoGebra, tu peux rentrer ton homographie dans son calculateur et étant donné un point quelconque $m\ $ du plan, le logiciel te traceras le point image $m'=f(m)\ $ sans que tu comprennes ce qui se passe.
    Moi je m'y prends différemment!
    Je sais qu'on peut décomposer $f$ (d'une infinité de façons) en produit de deux inversions et l'inversion fait partie des outils de GeoGebra.
    Par exemple sur ma figure, je peux passer du point $m\ $ au point $m'=f(m) $ de deux façons différentes:
    1° De $m\ $ à $m''\ $ par symétrie par rapport à l'axe réel puis de $m''\ $ à $m'\ $ par l'inversion par rapport au cercle de centre $\imath\ $ passant par les points $-1\ $ et $1.\qquad$
    2° ou bien de $m\ $ à $m'''\ $ par l'inversion par rapport au cercle de centre $-\imath\ $ passant par les points $-1\ $ et $1.\qquad$ puis de $m'''\ $ à $m'\ $ par symétrie par rapport à l'axe réel.
    Quant à l'interprétation de ma première figure dans le langage de la géométrie hyperbolique, c'est une toute autre histoire qui dépend totalement de la définition du plan hyperbolique que tu possèdes!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus125846
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