Quatre points dans le plan

Bonsoir Ludwig,
A vue de nez, je dirais que les configurations dans lesquelles le nombre de droites possibles est fini se limitent à celles où les quatre points de base forment un rectangle, à condition de ne pas considérer les droites à l'infini comme envisageables ! Car si les quatre points de base forment un rectangle, alors les points d'intersection des six droites passant par deux de ces points sont ces quatre points eux-mêmes, le point central du rectangle et deux points à l'infini (dans deux directions perpendiculaires). Si l'on ne tient pas compte de ces derniers, les droites de la "deuxième génération" seront de nouveau les quatre droites portant les côtés du rectangle et les deux droites portant les diagonales du même rectangle. Or, ces six droites n'ont pour intersections que les quatre points de base et le centre du rectangle, et ces cinq points ne définissent aucune autre droite que les six dont ils sont les intersections : c'est donc le cas parfait du serpent qui se mord la queue !
Prenons maintenant le cas de quatre points formant un trapèze rectangle : les six droites initiales donnent alors, hormis les quatre points de base A, B, C et D, deux points E et F, et la droite qui passe par ces deux points ne se confond pas avec une droite déjà présente : elle peut donc donner de nouveaux points d'intersection par chacun desquels peuvent passer de nouvelles droites (en rouge sur ma figure) ... etc ... etc ...
Voilà ce qu'il me semble pouvoir dire pour ta première question. Pour la deuxième, par contre, la notion "d'ensemble dense dans le plan" m'échappe totalement ...
Bien amicalement
JLB

Bonjour Ludwig,
Oui, tu as raison, le raisonnement que j'ai tenu pour le rectangle fonctionne aussi dans le cas d'un parallélogramme.
Par contre, je viens de regarder le cas d'un trapèze isocèle, et là, c'est sûr que le nombre de points et de droites augmente assez vite ... et c'est un euphémisme !
Et pour la question 2, même avec ton explication, je ne sais pas du tout quels raisonnements l'on peut suivre pour y répondre !
Bien cordialement
JLB