Des concours de droites

Bonsoir jelobreuil ,

J'utilise les coordonnées barycentriques.

Le triangle de référence:

$A, B, C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\0\\ 1\end{array}\right].$

Le point

$D\simeq \left[\begin{array}{c} -a^2\\ 0\\ -b^2 + c^2\end{array}\right].$

Le point E:

$E\simeq \left[\begin{array}{c} a^2 - b^2\\ 0\\ -c^2\end{array}\right].$

Le point P:

$P\simeq \left[\begin{array}{c} a^2 c^2\\ b^2 (a^2 - b^2 + c^2)\\ c^2 (b^2 - c^2)\end{array}\right].$

Le point Q:

$Q\simeq \left[\begin{array}{c} a^4 - a^2 b^2\\ b^2 (-a^2 + b^2 - c^2)\\ -a^2 c^2\end{array}\right].$


Question 1):

Le point S:

$S\simeq \left[\begin{array}{c} -a^4 + a^2 b^2\\ b^2 (a^2 - b^2 + c^2)\\ -(a^2 - b^2) (b^2 - c^2)\end{array}\right].$

Une équation barycentrique de la parallèle à BC passant par E est : $-c^2x+(-a^2 + b^2)y+(-a^2 + b^2)z=0.$

On a: $-c^2\times ( -a^4 + a^2 b^2 ) + (-a^2 + b^2)\times( b^2 (a^2 - b^2 + c^2) ) + (-a^2 +b^2 )\times( -(a^2 - b^2) (b^2 - c^2) )=0.$ Ainsi S est sur la parallèle à BC passant par E.

$R\simeq \left[\begin{array}{c}-(a^2 - b^2) (b^2 - c^2)\\ b^2 (a^2 - b^2 + c^2)\\ c^2 (b^2 - c^2)\end{array}\right].$

Une équation barycentrique de la parallèle à AB passant par D est : $(b^2 - c^2 )x+(b^2 - c^2)y-a^2z=0.$

On a: $(b^2 - c^2)\times( -(a^2 - b^2) (b^2 - c^2)) + (b^2 - c^2)\times(b^2 (a^2 - b^2 + c^2)) - a^2 \times(c^2 (b^2 - c^2))=0.$ Ainsi R est sur la parallèle à AB passant par D.

Question 2):

Le point V:

$V\simeq \left[\begin{array}{c}a^4 - a^2 b^2\\ b^2 (-a^2 + b^2 - c^2)\\ -b^2 c^2 + c^4\end{array}\right].$

Une équation barycentrique de la médiatrice à AC est : $b^2x+(a^2 - c^2)y -b^2z=0.$

On a: $b^2\times(a^4 - a^2 b^2) + (a^2 - c^2)\times(b^2 (-a^2 + b^2 - c^2)) -b^2\times( -b^2 c^2 + c^4)=0.$ Ainsi V est sur la médiatrice de AC.

Question 3):

Le point U:

$U\simeq \left[\begin{array}{c}(a^2 - b^2) (a^2 + b^2 - c^2)\\ b^2 (-a^2 + b^2 - c^2)\\ -b^4 + c^4 + a^2 (b^2 - c^2)\end{array}\right].$

Une équation barycentrique de la médiatrice à AC est : $b^2x+(a^2 - c^2)y -b^2z=0.$

On a: $b^2\times((a^2 - b^2) (a^2 + b^2 - c^2)) + (a^2 - c^2)\times(b^2 (-a^2 + b^2 - c^2)) -b^2\times( -b^4 + c^4 + a^2 (b^2 - c^2))=0.$ Ainsi U est sur la médiatrice de AC.

Amicalement

Jelobreuil rebonsoir.
Reprenant ton intuition de symétries, je les note $s$, avec l'axe en indice.
Par construction, $ABE$ et $BCD$ sont isocèles en $E$ et en $D$. J'ai misé sur
$$s_{OQ}\circ s_{OP}\circ s_{OQ}\circ s_{OP}(AP)=(CQ)$$
Mais il me semble que cela fait de $(CQ)$ l'image de $(AP)$ par une rotation d'angle quatre fois celui des médiatrices $(OP)$ et $(OQ)$.
Là où j'espérais la symétrie d'axe $(OB_1)$...
Un coup d'épée dans l'eau ?
Amicalement,
Swingmustard

Bonjour,
je vous propose un outline de ma preuve...

Un résultat classique : si, un point M est sur la A-médiane d’un triangle ABC
alors, les points d’intersection de Y, Z de (BM) et (AC), CM) et (AB) déterminent une parallèle à (BC).

Question 1, (SE) // (BC) et (RD) // (AB).

Notons O le point d’intersection de (PE) et (QD)
.
Le théorème de Pappus appliqué à l’hexagone sectoriel PRDQSEP conduit à l’alignement de V, U et O.

Question 2 et 3 : O étant l’orthocentre du triangle UDE, U et V sont sur la médiatrice de [AC].

Sincèrement
Jean-Louis