Triangles médiatrice-hauteurs

jelobreuil
jelobreuil
dans Géométrie
Bonsoir ou bonjour à tous,
Je vous propose d'étudier la figure jointe : on y voit trois triangles semblables au triangle de base ABC, chacun étant construit sur le segment découpé, sur la médiatrice d'un côté, par les deux hauteurs issues des sommets adjacents à ce côté : par exemple le triangle HDE est formé par la médiatrice de BC et les deux hauteurs issues de B et C.
Que peut-on dire des trois centres de similitude, et des valeurs des rapports de similitude ? Y a-t-il d'autres aspects intéressants ?
Y a-t-il une règle pour déterminer, parmi ces similitudes, lesquelles sont directes et lesquelles indirectes ? Y en a-t-il toujours, comme sur ma figure, une répartition en "deux et une" ? Ces trois similitudes sont-elles toujours directes ? Et sont-elles toujours toutes trois de même nature ?
On peut aussi étudier la figure duale, avec les triangles qu'on forme en échangeant les rôles des hauteurs et des médiatrices.
Merci de votre intérêt !
Bien cordialement
JLB
Edit : et à mon actif, une idiotie de plus, une ! décidément ...126412

Réponses

  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bonne nuit,
    Voici les trois centres de ces similitudes directes.
    Si je ne me suis pas trompé dans ma construction, ces trois centres ne forment pas, malgré l'apparence à première vue, un autre triangle semblable aux quatre premiers ...:-S
    Bien cordialement
    JLB126414
  • pappus
    pappus
    Mon cher Jelobreuil
    Tes trois triangles $JIH\ $, $HDE\ $, $FHG\ $ sont homothétiques.
    Donc nul besoin de tracer des cercles mais uniquement des droites pour récupérer les trois centres d'homothétie.
    On savait démontrer dans les siècles précédents que ces trois centres étaient alignés.
    Quelle extase!!!
    Aujourd'hui on se contente d'ânonner l'axiome de Thalès!!!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus126434
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bien cher Pappus,
    Merci beaucoup de ce développement ! Cela m'avait en effet complètement échappé !
    Il n'en demeure pas moins que mes trois triangles sont aussi tous trois semblables au triangle de base ABC et que ce sont les centres de ces trois similitudes que j'ai construits à l'aide de tous ces cercles ...
    Bien amicalement
    JLB
  • pappus
    pappus
    Mon cher Jelobreuil
    Ta configuration n'est pas très intéressante!
    Peux-tu nous donner au moins la définition des cercles que tu as utilisés pour construire ces centres?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bien cher Pappus,
    La "définition des cercles", qu'entends-tu par là ?
    J'ai simplement appliqué le théorème du paragraphe n° 242 du Lebossé-Hémery ...
    Et que cette configuration ne soit pas très intéressante, figure-toi que je m'en doutais un peu, vu le peu d'intérêt qu'elle a suscité parmi nos co-forumeurs ...
    Bien amicalement
    JLB
  • pappus
    pappus
    Bonjour Jelobreuil
    Est-ce que tu t'es rendu compte que tes trois similitudes sont des similitudes directes d'angle droit?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Oui, en effet, Pappus, je m'en étais rendu compte, ce n'est qu'une application du fait que l'angle d'une similitude directe est égal à l'angle formé par deux droites homologues, et comme, dans le cas présent, deux droites homologues sont perpendiculaires l'une à l'autre ...
    J'ai bien conscience de ne pas être aussi précis et rigoureux dans mes explications que tu souhaiterais que je le sois, et j'en appelle à ton indulgence envers le géomètre dilettante que je suis ...
    Bien amicalement
    JLB
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