Deux angles égaux dans un carré
dans Géométrie
Bonsoir à tous,
Un exercice que certains connaissent peut-être déjà ...
Soit un carré ABCD et les points E de AB tel que BE = BA/2, F de BC tel que CF = CB/4, et G de DA tel que DG = DA/8.
Montrer que les angles DCG et FEC sont égaux.
Bien cordialement
JLB
Un exercice que certains connaissent peut-être déjà ...
Soit un carré ABCD et les points E de AB tel que BE = BA/2, F de BC tel que CF = CB/4, et G de DA tel que DG = DA/8.
Montrer que les angles DCG et FEC sont égaux.
Bien cordialement
JLB
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Réponses
Soit $1$ le côté du carré. Trois coups de Pythagore donnent les longueurs $CG,EC,EF$.
Deux coups de Pythagore généralisé expriment $DG^2$ et $CF^2$ dans les triangles $DCG$ et $FEC$ respectivement en fonction des autres côtés connus et des cosinus des deux angles recherchés, ce qui permet de calculer ces deux cosinus, et ô miracle, on trouve la même chose.
Il ne reste plus qu'à faire le calcul.
Cordialement,
Rescassol
Voici un peu de géométrie contemplative!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Hint:
$$64+1=49+16\qquad$$
Une autre vision de la même figure où cette fois ci le point $E\ $ n'est plus confiné à rester sur le milieu de $AB\ $, ( décidément c'est une manie en ce moment!), mais reste libre de ses mouvements!
Amicalement
[small]p[/small]ppus
Merci de votre intérêt pour cette petite chose, je pensais bien que cela ne vous était pas inconnu ... Mais pour moi, hier soir, c'était tout nouveau !
Et comme tu dis, Pappus, c'est vraiment de la géométrie contemplative !
Quand j'ai réalisé que sur cette figure, les segments GE, GF et GC sont égaux (grâce à Pythagore et l'égalité de somme de carrés que tu rappelles), j'en suis resté baba ! Il m'en faut peu ... Et ensuite, le théorème de l'angle inscrit, des angles alternes internes ... Bref, de la géométrie à mon niveau, pas très haut ...
Merci du développement que tu proposes ! Je vais regarder cela de près !
Pour ceux que cela intéresse, 65 est le plus petit nombre qui s'écrit de deux façons différentes comme somme de deux carrés de nombres inégaux. Le suivant est 85, c'est la suite A224770 du site OEIS.
Bien amicalement
JLB