Le coin des olympiades n°3

Bonsoir,

Avec Morley inscrit ($D,E,F$ sont renommés en $U,V,W$):

% Bouzar - 03 Septembre 2021 - Le coin des olympiades n°3

clc, clear all, close all

% On part du triangle de contact UVW

syms u v w
syms uB vB wB % Conjugués

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v;
wB=1/w;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle 
b=2*w*u/(w+u);
c=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);

%-----------------------------------------------------------------------

% Points M et N

[pbm qbm rbm]=DroiteParallele(b,a,c,bB,aB,cB); % Droite (BM)

% Point D'intersection M des droites (BM) et (VW)

[m mB]=IntersectionDeuxDroites(pbm,qbm,rbm,1,v*w,-v-w);

m=Factor(m); % On trouve m = (u*v + 2*u*w - v*w)/(u + w)

% De même:

n = (u*w + 2*u*v - w*v)/(u + v);
nB = (uB*wB + 2*uB*vB - wB*vB)/(uB + vB);

%-----------------------------------------------------------------------

% Points P et Q

syms t real

p=u+t*(m-u);  % Un point quelconque P de (UM)
pB=uB+t*(mB-uB);

% Droite (CQ) passant par C et parallèle à (BP)

[pcq qcq rcq]=DroiteParallele(c,b,p,cB,bB,pB);

[pun qun run]=DroiteDeuxPoints(u,n,uB,nB); % Droite (UN)

% Point d'intersection Q des droites (CQ) et (UN)

[q qB]=IntersectionDeuxDroites(pcq,qcq,rcq,pun,qun,run);

q=Factor(q);

% On trouve:

q=v*(-(u-v)*(u-w)*t + u*(u+w))/(-(u-v)*(v-w)*t + v*(u+w));

%-----------------------------------------------------------------------

% Point S

[ppw qpw rpw]=DroiteDeuxPoints(p,w,pB,wB); % Droite (PW)
[pqv qqv rqv]=DroiteDeuxPoints(q,v,qB,vB); % Droite (QV)

[s sB]=IntersectionDeuxDroites(ppw,qpw,rpw,pqv,qqv,rqv);

s=Factor(s);

% On trouve:

s=u*v*((v-u)*t + (u+w))/(w*(u-v)*t + v*(u+w));

Nul=Factor(s*sB-1) % Égal à 0, donc c'est gagné

De plus, $P,I,Q$ sont alignés.

Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

On peut paramétrer de façon plus simple, les droites $(BP)$ et $(CQ)$ étant dirigées par un vecteur unitaire $t$ (et donc $\overline{t}=\dfrac{1}{t}$).
Cela donne $s=\dfrac{s_1t^2-s_3}{t^2-s_2}$ et bien sûr $\overline{s}=\dfrac{1}{s}$.

Cordialement,

Rescassol

Merci Rescassol.
En utilisant systématiquement les nombres complexes dans tes calculs, tu as tendance à voir partout de la géométrie circulaire!
Moi quand je lis l'énoncé, je n'y vois au contraire que de la géométrie affine pour ne pas dire projective, l'adjectif honni pour toujours!!!!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Jean-Louis
Je crois que l'adjectif anharmonique était tombé dans l'oubli bien avant que la géométrie projective n'en fasse autant!
Tout ceci n'a rigoureusement plus aucune importance aujourd'hui!
Alors fais comme tu veux!
Qui te dira le contraire?
Certainement pas les sectateurs de triplets de points alignés ou de droites concourantes!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour,

Oui Jean-Louis, $(PQ)$ passe par $I$, ça a été dit plus haut.

Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

1. (BI) // (DN) et (CI) // (DM)
2. la réciproque du petit théorème de Pappus appliqué à BPDQCIBconduit au résultat.

Merci pappus pour ton idée qui élève...et qui ma tente...

Sincèrement
Jean-Louis

Bonsoir.

Pour continuer avec l'idée de Rescassol, on peut aussi paramétrer les directions par celle de la droite joignant le milieu de l'arc $BC$ avec le point mobile $K(\tau)$ du cercle circonscrit. Alors la direction de $I_0\,S$ est donnée par celle de $OQ$, le point $Q(\kappa)$ étant défini par $\kappa = (\alpha\, s_3-s_2 \tau)/(\alpha \,s_1-\tau)$.

Cette formule est valable pour un repère Lubin-2, mais son analogue dans le repère de Poncelet aura la même propriété: quand l'un fait un tour, l'autre fait un tour. Il y a deux points fixes. Que peut-on en faire ?

Cordialement, Pierre.