Bonjour à tous,
Merci Bouzar pour cet exercice qui nous permet d'explorer un tant soit peu la géométrie de l'ennéagone régulier, un de mes "dadas" !
Considérant que le triangle ADC est isocèle en C et que les triangles IDA et BAC sont semblables, on aboutit très vite
à l'égalité IC/AB = (DC - ID)/AB = AC/AB - ID/AB = AC/AB - AB/BC = sinB/sinC - sinC/sinA
J'essaie d'aller plus loin en tenant compte des égalités d'angles B = (A+C)/2 et A = 2C, mais je m'y perds un peu ...
Bien cordialement
JLB
Merci Zig !
Ce n'est pas une "petite" erreur, elle est grossière !
On a donc IC/AB = AC/AB - AD/AC = sinB/sinC - sin(C/2)/sin(ADC) avec B = 3C/2 et <ADC = A = 2C
JLB
Pourquoi être subtil et délicat quand la force brute suffit ?
% Bouzar - 08 Septembre 2021 - B=60° et A=2C
clc, clear all, close all
syms r % r=sqrt(3)
j=(-1+i*r)/2;
jB=1/j;
% On part du triangle de contact UVW avec un angle de 60°
syms u v
w=u/j;
uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v;
wB=1/w;
%-----------------------------------------------------------------------
a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle
b=2*w*u/(w+u);
c=2*u*v/(u+v);
aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);
%-----------------------------------------------------------------------
% Longueurs des côtés du triangle ABC
BC=-2*i*u*(v-w)/((u+v)*(u+w));
CA=-2*i*v*(w-u)/((v+w)*(v+u));
AB=-2*i*w*(u-v)/((w+u)*(w+v));
%-----------------------------------------------------------------------
% Condition pour que IC=AB
IC2=Factor(c*cB);
Eq1=numden(Factor((IC2-AB^2)/4));
Eq1=subs(Eq1,r^2,3);
Eq1=subs(Eq1/8,r^3,3*r)
% On trouve:
Eq1 = 2*u*v^3 - r*v^4*1i - r*u^4*1i - u^3*v - u^4 - v^4 + r*u^3*v*1i;
%-----------------------------------------------------------------------
% Condition pour que A=2C
cosA=(AB^2+CA^2-BC^2)/(2*AB*CA);
cosC=(BC^2+CA^2-AB^2)/(2*BC*CA);
Eq2=numden(Factor(2*cosC^2-1-cosA));
Eq2=subs(expand(Eq2/2),r^2,3)
% On trouve:
Eq2 = u*v^3 - r*v^4*1i - r*u^4*1i - 2*u^3*v + u^4 + v^4 + r*u*v^3*1i;
%-----------------------------------------------------------------------
% Élimination de u entre Eq1 et Eq2
pol1=coeffs(Eq1,u,'All');
pol2=coeffs(Eq2,u,'All');
R=Factor(Resultant(pol1,pol2))
% On trouve:
R = 3*v^16*(r^2 - 3)^4 % R=0 car r^2=3, donc c'est gagné !!
Bonjour à tous À la Lalesco
$$c=2R\sin(\mathbf C)=CI=\dfrac r{\sin\big(\dfrac {\mathbf C}2\big)}\qquad
$$ D'où :
$$2\sin(\mathbf C)\sin\big(\dfrac {\mathbf C}2\big)=\dfrac r R=4\sin\big(\dfrac {\mathbf A}2\big)\sin\big(\dfrac {\mathbf B}2\big)\sin\big(\dfrac {\mathbf C}2\big)
$$ Lalesco, article 16.32, page 114
La relation se réduit à :
$$\sin(\mathbf C)=2\sin\big(\dfrac {\mathbf A}2\big)\sin\big(\dfrac {\mathbf B}2\big)\qquad
$$ C'est évidemment vérifié avec $\mathbf A=80°\ $, $\mathbf B=60°\ $, $\mathbf C=40°.\qquad$
Donc la seule chose à savoir était :
$$\sin(30°)=\dfrac 12.\qquad
$$ Est-ce encore enseigné ?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bonsoir Pappus,
Et merci pour cette solution !
Cela fait pourtant déjà quelque temps que je possède un exemplaire du Lalesco, mais j'avoue ne pas encore avoir regardé la quatrième partie, qui est pourtant l'une des deux qui soient le plus abordables pour moi !
Bien cordialement
JLB
Réponses
Merci Bouzar pour cet exercice qui nous permet d'explorer un tant soit peu la géométrie de l'ennéagone régulier, un de mes "dadas" !
Considérant que le triangle ADC est isocèle en C et que les triangles IDA et BAC sont semblables, on aboutit très vite
à l'égalité IC/AB = (DC - ID)/AB = AC/AB - ID/AB = AC/AB - AB/BC = sinB/sinC - sinC/sinA
J'essaie d'aller plus loin en tenant compte des égalités d'angles B = (A+C)/2 et A = 2C, mais je m'y perds un peu ...
Bien cordialement
JLB
ID/AB = AD/AC = sin20/sin80
Du coup, IC/AB = sin60/sin40 - sin20/sin80 = 1
.
Ce n'est pas une "petite" erreur, elle est grossière !
On a donc IC/AB = AC/AB - AD/AC = sinB/sinC - sin(C/2)/sin(ADC) avec B = 3C/2 et <ADC = A = 2C
JLB
Pourquoi être subtil et délicat quand la force brute suffit ? Cordialement,
Rescassol
À la Lalesco
$$c=2R\sin(\mathbf C)=CI=\dfrac r{\sin\big(\dfrac {\mathbf C}2\big)}\qquad
$$ D'où :
$$2\sin(\mathbf C)\sin\big(\dfrac {\mathbf C}2\big)=\dfrac r R=4\sin\big(\dfrac {\mathbf A}2\big)\sin\big(\dfrac {\mathbf B}2\big)\sin\big(\dfrac {\mathbf C}2\big)
$$ Lalesco, article 16.32, page 114
La relation se réduit à :
$$\sin(\mathbf C)=2\sin\big(\dfrac {\mathbf A}2\big)\sin\big(\dfrac {\mathbf B}2\big)\qquad
$$ C'est évidemment vérifié avec $\mathbf A=80°\ $, $\mathbf B=60°\ $, $\mathbf C=40°.\qquad$
Donc la seule chose à savoir était :
$$\sin(30°)=\dfrac 12.\qquad
$$ Est-ce encore enseigné ?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Et merci pour cette solution !
Cela fait pourtant déjà quelque temps que je possède un exemplaire du Lalesco, mais j'avoue ne pas encore avoir regardé la quatrième partie, qui est pourtant l'une des deux qui soient le plus abordables pour moi !
Bien cordialement
JLB
Amicalement