Constructions dans un domaine contraint

Bonjour,
je cherche des énoncés de constructions à la règle et au compas dans le plan privé d'un domaine $\mathbf{D}$.
Plus formellement, on s'autorise toutes les constructions usuelles sauf celles s'appuyant sur un point $P\in \mathbf{D}$ ou deux points $A$ et $B$ tels que le segment $[A,B]$ intersecte $\mathbf{D}$ (donc -dans ce cas - pas de droite $(A,B)$ construite uniquement à partir de ces points ni de cercle de centre $A$ passant par $B$ ni de report de la distance entre $A$ et $B$ en utilisant l'écartement du compas...).

Exemple de problème : On se donne un cercle $\mathcal{C}$ et on s'interdit le disque intérieur du cercle. Construire un segment de longueur égale au rayon de $\mathcal{C}$.
On peut aussi chercher à construire un tel segment approchant le rayon à une précision fixée (par la longueur d'un segment fourni) lorsque le domaine interdit est $\mathcal{C}$ lui-même (donc pas de tangente possible). Une solution non itérative est-elle possible ?

Bien sûr, si $\mathbf{D}$ est borné et son complémentaire est d'intérieur connexe, on peut construire sur la partie du plan disponible un quadrillage, et de nombreuses constructions peuvent se faire en translatant les données du problème dans une zone assez vaste et éloignée de $\mathbf{D}$... mais l'idée ici est plutôt de trouver des constructions astucieuses que simplement en affirmer l'existence.

Vos idées sont les bienvenues.