Une conjecture

Bonjour Jean-Louis,

Il y a deux points E. Peux-tu changer ton énoncé.

Amicalement

Bonjour Jean-Louis,

J'utilise les coordonnées barycentriques.

Le triangle de référence ABC:

$A, B, C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\0\\ 1\end{array}\right].$

Le cercle inscrit (I):

$a^2yz+b^2zx+c^2xy - \dfrac 1 4(x+y+z)\left((b^2+c^2-a^2)x+(c^2+a^2-b^2)y+(a^2+b^2-c^2)z\right) = 0.$

Le triangle de contact DEF:

$D, E, F\simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ a + b - c\\ a - b + c\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -a - b + c\\ 0\\ a - b - c\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -a + b - c\\a - b - c\\ 0\end{array}\right].$

Ge le point de Gergonne:

$Ge\simeq \left[\begin{array}{c} \dfrac{1}{b + c - a }\\ \dfrac{1}{c + a - b }\\ \dfrac{1}{a + b - c }\end{array}\right].$

J le second point d’intersection de (AD) avec (I) :

$J \simeq \left[\begin{array}{c} 4 (a + b - c) (a - b + c)\\ -(a - b - c) (a + b - c)\\ -(a - b - c) (a - b + c)\end{array}\right].$

x, y, z les longueurs AJ, JGe, GeD:

$x=AJ=\dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{-a (a - b - c)^3}{(a^2 + a b - 2 b^2 + a c + 4 b c - 2 c^2)}}$

$y=JGe= \dfrac{3}{2} \sqrt{\dfrac{-a (a - b - c)^3 (a + b - c)^2 (a - b + c)^2}{(a^2 + a b - 2 b^2 +
a c + 4 b c - 2 c^2) (a^2 - 2 a b + b^2 - 2 a c - 2 b c + c^2)^2}}$

$z=DGe=\dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{-(a - b - c) (a + b - c)^2 (a - b + c)^2 (a^2 + a b -
2 b^2 + a c + 4 b c - 2 c^2)}{a (a^2 - 2 a b + b^2 - 2 a c - 2 b c + c^2)^2}}.$

Conjecture : y.(x + y + z) = 3.x.z ?

Un calcul montre que $ y.(x + y + z) -3.x.z=0.$

En conclusion, la conjecture est vraie.

Amicalement

Bonjour Jean-Louis Ayme,

Tant qu'à faire, tu devrais aussi modifier la ligne 6 de ton énoncé en remplaçant $E$ par $J$.

Bonjour
Bouzar wrote : "Un calcul montre que..."
Essayons de voir comment.
Si $\lambda =\dfrac{a\left( b+c-a\right) }{\left( c+a-b\right) \left( a+b-c\right) }$, il résulte des sympathiques expressions de Bouzar que $\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2\lambda }{3}$ et $\dfrac{z}{y}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3\lambda }$.
Le résultat en découle.
Il y a à coup sûr bien plus simple; par exemple en calculant directement $\dfrac{\overline{AJ}}{\overline{JG_{e}}}$ et $\dfrac{\overline{G_{e}D}}{\overline{JG_{e}}}$.
Bien cordialement. Poulbot

Bonjour.

Cet exercice se résoud plus facilement en remarquant la propriété à démontrer est indépendante du choix de l'unité de longueur.

On pose $x=\dfrac {\overrightarrow{AJ}}{\overrightarrow{AD}} $ etc. et on calcule $\overrightarrow{AJ}$ en utilisant $\overrightarrow{AJ}=J-A$, autrement dit on applique la définition d'un vecteur. Cette définition ne nous dit-elle pas que si l'on part de $A$ et que l'on fait le trajet qui va de $A$ vers $J$ alors on arrive en $J$ ?

Il reste à utiliser les valeurs qui ont été données pour les coordonnées barycentriques de $A,J,Ge,D$, et on trouve $x,y,z$ avec en prime $x+y+z=1$. Et c'est fini.

Cordialement, Pierre.