Une conjecture
dans Géométrie
Bonjour,
1. ABC un triangle
2. (I) le cercle inscrit
3. DEF le triangle de contact
4. Ge le point de Gergonne
5. J le second point d’intersection de (AD) avec (I)
6. x, y, z les longueurs AJ, JGe, GeD.
Conjecture trouvé sur un site : y.(x + y + z) = 3.x.z.
Question : cette conjecture est-elle vraie ou fausse ?
Merci
Sincèrement
Jean-Louis
1. ABC un triangle
2. (I) le cercle inscrit
3. DEF le triangle de contact
4. Ge le point de Gergonne
5. J le second point d’intersection de (AD) avec (I)
6. x, y, z les longueurs AJ, JGe, GeD.
Conjecture trouvé sur un site : y.(x + y + z) = 3.x.z.
Question : cette conjecture est-elle vraie ou fausse ?
Merci
Sincèrement
Jean-Louis
Réponses
-
Bonjour Jean-Louis,
Il y a deux points E. Peux-tu changer ton énoncé.
Amicalement -
Bonjour,
J'ai renommé ton second point $E$ en $J$.
La conjecture semble vraie. -
Bonjour Jean-Louis,
J'utilise les coordonnées barycentriques.
Le triangle de référence ABC:
$A, B, C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\0\\ 1\end{array}\right].$
Le cercle inscrit (I):
$a^2yz+b^2zx+c^2xy - \dfrac 1 4(x+y+z)\left((b^2+c^2-a^2)x+(c^2+a^2-b^2)y+(a^2+b^2-c^2)z\right) = 0.$
Le triangle de contact DEF:
$D, E, F\simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ a + b - c\\ a - b + c\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -a - b + c\\ 0\\ a - b - c\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -a + b - c\\a - b - c\\ 0\end{array}\right].$
Ge le point de Gergonne:
$Ge\simeq \left[\begin{array}{c} \dfrac{1}{b + c - a }\\ \dfrac{1}{c + a - b }\\ \dfrac{1}{a + b - c }\end{array}\right].$
J le second point d’intersection de (AD) avec (I) :
$J \simeq \left[\begin{array}{c} 4 (a + b - c) (a - b + c)\\ -(a - b - c) (a + b - c)\\ -(a - b - c) (a - b + c)\end{array}\right].$
x, y, z les longueurs AJ, JGe, GeD:
$x=AJ=\dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{-a (a - b - c)^3}{(a^2 + a b - 2 b^2 + a c + 4 b c - 2 c^2)}}$
$y=JGe= \dfrac{3}{2} \sqrt{\dfrac{-a (a - b - c)^3 (a + b - c)^2 (a - b + c)^2}{(a^2 + a b - 2 b^2 +
a c + 4 b c - 2 c^2) (a^2 - 2 a b + b^2 - 2 a c - 2 b c + c^2)^2}}$
$z=DGe=\dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{-(a - b - c) (a + b - c)^2 (a - b + c)^2 (a^2 + a b -
2 b^2 + a c + 4 b c - 2 c^2)}{a (a^2 - 2 a b + b^2 - 2 a c - 2 b c + c^2)^2}}.$
Conjecture : y.(x + y + z) = 3.x.z ?
Un calcul montre que $ y.(x + y + z) -3.x.z=0.$
En conclusion, la conjecture est vraie.
Amicalement -
Bonjour,
merci Bouzar...cette conjecture étant vraie...je me mets aux calculs à l'ancienne...
Sincèrement
jean-Louis -
Rebonjour,
en considérant deux divisions harmoniques, j'arrive à conclure après calculs...
Merci
Jean-Louis -
Bonjour Bouzar
"Un calcul montre que ...". Avec tes expressions de $x,y,z$ ton calcul semble bien compliqué.
On peut s'en sortir sans racines carrées à partir de tes expressions en calculant $\dfrac{x}{y}$ et $\dfrac{z}{y}$ ; il y a juste deux petits problèmes de signes à résoudre.
Amicalement. Poulbot -
Bonjour Jean-Louis Ayme,
Tant qu'à faire, tu devrais aussi modifier la ligne 6 de ton énoncé en remplaçant $E$ par $J$. -
Merci, c'est fait...
Sincèrement
Jean-Louis -
Bonjour
Bouzar wrote : "Un calcul montre que..."
Essayons de voir comment.
Si $\lambda =\dfrac{a\left( b+c-a\right) }{\left( c+a-b\right) \left( a+b-c\right) }$, il résulte des sympathiques expressions de Bouzar que $\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2\lambda }{3}$ et $\dfrac{z}{y}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3\lambda }$.
Le résultat en découle.
Il y a à coup sûr bien plus simple; par exemple en calculant directement $\dfrac{\overline{AJ}}{\overline{JG_{e}}}$ et $\dfrac{\overline{G_{e}D}}{\overline{JG_{e}}}$.
Bien cordialement. Poulbot -
Bonjour,
C'est très simple avec Morley inscrit ($D,E,F$ sont renommés en $U,V,W$):% Jean-Louis Ayme - 11 Septembre 2021 - une conjecture clc, clear all, close all % On part du triangle de contact UVW syms u v w syms uB vB wB % Conjugués uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit vB=1/v; wB=1/w; syms s1 s2 s3; syms s1B s2B s3B; % Conjugués s1=u+v+w; % Fonctions symétriques s2=u*v+v*w+w*u; s3=u*v*w; s1B=s2/s3; % Conjugués s2B=s1/s3; s3B=1/s3; %----------------------------------------------------------------------- % Point A a=2*v*w/(v+w); aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugué % Point de Gergonne Ge ge=2*(s2^2-3*s1*s3)/(s1*s2-9*s3); % Point J où (AU) recoupe le cercle inscrit syms j jB=1/j; % Conjugué (J est sur le cercle inscrit) NulJ=numden(Factor(det([a aB 1; u uB 1; j jB 1]))); % A, U, J alignés % On trouve (v - 2*u + w)*j + u*v + u*w - 2*v*w = 0 donc: j=(u*v+u*w-2*v*w)/(2*u-v-w); %----------------------------------------------------------------------- Bi=Factor(Birapport(a,ge,j,u)) % On trouve Bi=-1/3 ce qui est équivalent à la relation demandée.
Cordialement,
Rescassol
Edit: Suppression des valeurs de $geB$ et $jB$ qui ne servent à rien. -
Bonjour.
Cet exercice se résoud plus facilement en remarquant la propriété à démontrer est indépendante du choix de l'unité de longueur.
On pose $x=\dfrac {\overrightarrow{AJ}}{\overrightarrow{AD}} $ etc. et on calcule $\overrightarrow{AJ}$ en utilisant $\overrightarrow{AJ}=J-A$, autrement dit on applique la définition d'un vecteur. Cette définition ne nous dit-elle pas que si l'on part de $A$ et que l'on fait le trajet qui va de $A$ vers $J$ alors on arrive en $J$ ?
Il reste à utiliser les valeurs qui ont été données pour les coordonnées barycentriques de $A,J,Ge,D$, et on trouve $x,y,z$ avec en prime $x+y+z=1$. Et c'est fini.
Cordialement, Pierre. -
Bonsoir
Oui, Pierre, c'est équivalent à la méthode complexe.
Dans un cas, il faut connaître les coefficients barycentriques de quelques points, dans l'autre, il faut connaître leurs affixes. Après, la vérification prend 3 lignes.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour,
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/26. 3. Segments.pdf
p. 42...
Sincèrement
Jean-Louis
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Bonjour!
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