Flux de champ vectoriel à travers une surface

PalmerEldritch · September 2021

Bonjour
Mon problème paraîtra simple pour certains mais voilà, je planche depuis plusieurs minutes sur le calcul du flux d'un champ vectoriel mais je suis complètement bloqué, voici l'énoncé.

Déterminer le flux doubleIntegraleFermée(F.dS) où le champ vectoriel est donné par F = x*ex + y*ey (ex et ey sont les vecteurs unitaires) et la surface fermée satisfait la relation 3(x² + y²) + 4z² = 1

En traçant la surface sur GeoGebra j'ai constaté que la surface fermée était ellipsoïde, j'ai défini un vecteur n orthogonal à la surface défini par n = grad((3x²+y²)+4z²) => n = 6x*ex + 6y*ey + 8z*ez

J'ai ensuite normé ce vecteur afin qu'il soit unitaire et orthonormal à la surface, mais ensuite je suis complètement bloqué, quelqu'un aurait-il l'amabilité de me donner la marche à suivre ? J'imagine qu'on écrit dS comme dS = n.dS ? J'ai pensé à calculer la divergence de F en coordonnées sphériques et appliquer le théorème de Green-Gauss-Ostrogradsky mais je bloque.

Je vous remercie d'avance pour vos réponses.

YvesM · September 2021

Bonjour,

J’ai l’idée de modéliser la surface de l’ellipsoïde selon deux angles $u,v$.

Je garde une intégrale $F.dS$ qui devient $\det(F, \partial_u S, \partial_v S) du dv$.

Le tout avec des notations à deviner.

pappus · September 2021

Bonjour à tous
La divergence de ce champ est constante et vaut 2.
Le résultat cherché est deux fois le volume de l'ellipsoïde..
Le problème est donc le suivant:
Parmi ceux qui connaissent la formule d'Ostrogradski, combien savent calculer le volume d'un ellipsoïde?
Amicalement
[small]p[/small]appus

bd2017 · September 2021

Bonjour

@PalmerEldritch la divergence est facile à calculer elle vaut 2.

Donc par le th que tu as cité ton intégrale est égale à :

$I = 2 \iiint_E 1 dx dy dz= 2 V(E) $

où E est le domaine dont la frontière a pour équation $3 (x^2 +y^2)+ 4z ^2=1$

c'est à dire E est l'ensemble des (x,y,z) t.q $3 (x^2 +y^2)+ 4z ^2\leq 1$

Tu es donc ramené à calculer ce volume, c'est à dire cette intégrale triple.

Le changement en coordonnées sphériques n'est pas adapté mais plutôt les coordonnées cylindriques. $(r,\theta,z)$ ($r>0, \theta \in [0,2\pi]$)

En effet l'équation de (E) ne dépend que r et z:

(E): $3 r^2 + 4 z^2\leq 1$

Tu te ramèneras alors à une intégrale double où un second changement de variable sera nécessaire

Poser $r=\dfrac{1}{\sqrt{3}} a \cos(t)$ et $z=\dfrac{1}{2} a \sin(t)$

avec $(a,t)\in ...$ je te laisse terminer

Avec ces indications le calcul est aisé...

PalmerEldritch · September 2021

Bonjour,

Merci pour vos réponses, tout est beaucoup plus clair maintenant ! J'avais déjà eu l'idée de calculer la divergence et puis d'utiliser le théorème de Gauss mais je n'avais aucune idée de comment calculer mais maintenant tout est clair ! Encore merci !

pappus · September 2021

Bonjour à tous
Il n'y a pas besoin de savoir calculer une intégrale triple pour obtenir le volume d'un ellipsoïde!
Par contre savoir son cours de géométrie affine me semble préférable surtout quand on se trouve sur le forum de géométrie!
Amicalement
[small]p[/small]appus

PalmerEldritch · September 2021

Bonsoir pappus,

J'ai effectivement pensé a mulitplier 2 (la divergence de mon champ) par le volume de l'ellipsoïde à savoir V = (4*pi*a*b*c)/3 avec a=b=sqrt(3)/3 et c=1/2 mais est-ce autorisé ?

Bien à vous,
Palmer

bd2017 · September 2021

Pappus a écrit:

Il n'y a pas besoin de savoir calculer une intégrale triple pour obtenir le volume d'un ellipsoïde !

Mais savoir calculer une intégrale triple cela peut servir.

La remarque est mal venue puisque l'auteur de la question demande si il peut balancer le résultat sans savoir comment on peut l'obtenir.

Visiblement il vaut mieux aller poser la question dans une autre rubrique car sur ce forum de géométrie, l'essentiel ici est de montrer qu'on a beaucoup de connaissances et de reprocher autres à chaque message de ne pas en avoir assez.

YvesM · September 2021

Bonjour,

Ce qui est autorisé c'est de connaître son cours et de démontrer ce que l'on fait.

Il te faut écrire les intégrales sur la surface et le volume, justifier leurs existences et faire le calcul de la divergence. Pour le volume, oui, tu peux écrire directement le résultat "du cours".

Je te suggère de calculer l'intégrale de surface pour retrouver le résultat.

pappus · September 2021

Bonjour à tous
Si j'ai bien compris le message initial de PalmerEldritch, celui ci est plus préoccupé par l'analyse que par la géométrie.
Alors que vient-il faire sur le forum de géométrie?
On peut comprendre que les géomètres soient un peu agacés!
Si j'avais voulu vraiment dérouter mes étudiants, je leur aurais proposé de calculer le flux de ce même champ de vecteurs à travers la surface d'équation:
$$x^2+2y^2+3z^2+4yz+5zx+6xy-7=0$$
Excellent exercice pour une longue période de confinement!
Amicalement
[small]p[/small]appus