Découplage d'une équation de trigo

Bonjour.

Je ne sais pas ce que tu appelles "découpler".
Par contre, je connais des méthodes pour résoudre cette équation trigonométrique ultra-classique. Ce qui donne mieux que ce que tu demandes, une égalité de la forme alpha = bêta + Cte, avec l'inconvénient classique en trigo que s'il y a une solution, il y en a en fait une infinité.

Donc en posant alpha-bêta = x, tu as à résoudre a sin(x)+b cos(x) = c
On considère les complexes $A = b-ia = \rho e^{i\theta}$ et $B = \cos(x)+ i\sin(x) =e^{ix}$ où $\rho$ est le module de $A$ et $\theta$ est un de ses arguments (tu sais comment les calculer).
On remarque que $ a\sin(x)+b\cos(x)$ est la partie imaginaire de $A\times B$. Or
$A\times B = \rho e^{i\theta} e^{ix} = \rho e^{i(\theta+x} = \rho \cos(\theta+x)+i \rho \sin(\theta+x)$
On a donc $a\sin(x)+b\cos(x) = \rho \sin(\theta+x)$
Et l'équation à résoudre devient $ \rho \sin(\theta+x) = c$. Qu'on réécrit
$$\sin(\theta+x) = \frac c{\rho}$$
Si $\frac c{\rho}<-1$ ou $\frac c{\rho}>1$ il n'y a pas de solution.
Si $-1\le \frac c{\rho}\le 1$ alors il existe un réel $t\in [-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2] $ tel que $\frac c{\rho}=\sin(t)$ ($t$ est l'arc sinus de $\frac c{\rho}$); on a donc
$\sin(x+\theta) = \sin(t)$, d'où les deux séries de solutions :
$x+\theta = t+k.2\pi$ ou $x+\theta = \pi-t+k.2\pi$

Je te laisse adapter à ta situation particulière ...

Cordialement.

NB : C'est du classique de fin de lycée, ou de première année d'IUT industriel.

Bonjour,

Essaie d’utiliser les mêmes principes.

On transforme les sinus et cosinus en cosinus de l’angle plus une constante.

On le fait pour alpha, beta et alpha moins beta.

Puis on transforme le cosinus de alpha plus constante et le cosinus de bêta plus constante en cosinus de alpha moins bêta plus constante.

Et on termine…

Tu peux aussi faire une dichotomie. Ne pas s’emmerder à des calculs inutiles est une preuve d’intelligence.