L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Normale à l'ellipse
dans Géométrie
Bonjour,
Quelqu'un pourrait-il me confirmer le résultat suivant ?
La distance du centre de l'ellipse $x^2 /a^2 + y^2/b^2 = 1$ à une normale atteint son maximum au point d'abscisse $a\sqrt{a/(a+b)}$.
A+
Quelqu'un pourrait-il me confirmer le résultat suivant ?
La distance du centre de l'ellipse $x^2 /a^2 + y^2/b^2 = 1$ à une normale atteint son maximum au point d'abscisse $a\sqrt{a/(a+b)}$.
A+
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Réponses
Cela ne semble pas coller avec le cas du cercle (a=b)
A+
Oui, je confirme!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Formule de la distance $d$ de l'origine à la droite d'équation $ux+vy+w=0$, $(u,v) \neq (0,0)$.
Équation de la normale à l'ellipse au point $x=a \cos \theta, y=b \sin \theta$.
On étudie $\frac 1{d^2}$ en fonction de $t= \sin^2 \theta$.
Et ça marche.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
min au carré = $\dfrac{27 a^4 b^4}{\left(a^2+b^2\right)^3}$
Tous calculs faits, on trouve $|a - b|$ comme distance maximale du centre à une normale, ce qui colle bien avec le cas du cercle ; la distance du centre à la tangente est alors $\sqrt{ab}$ ; on a aussi $OM = \sqrt{a^2 + b^2 - ab}$, ce qui donne une construction facile du point (par application de la loi des cosinus à un triangle de côtés $a, b$ comprenant un angle de $60$ degrés).
Comment retrouver ces résultats par la géométrie pure ?
A+
Pour le problème de Chaurien j'ai dit des bêtises et la valeur donnée par bd2017 est correcte. Elle est de plus égale à $2b$ lorsque l'excentricité de l'ellipse vaut $ \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Que peut-on encore dire si on remplace l'ellipse par une courbe (suffisamment) différentiable quelconque?
Et évidemment ce "ce qu'on peut encore dire" reste valable pour l'ellipse!!
Amicalement
[small]p[/small]appus