sangaku
Bonjour,
Les sangaku sont des tablettes votives accrochées dans les temples shinto. Elles présentent des théorèmes de géométrie, sans démonstration généralement. Même la propriété illustrée est à deviner (du moins pour qui ne lit le japonais).
http://www.sangaku.info/index.fr.html
De nombreuses autres références sont disponibles (Tangente, Pour la Science, Wolfram, etc.), et je pense que vous trouverez plaisir comme moi à chercher à résoudre l'une ou l'autre énigme.
Je vous pose de suite une question à propos du sangaku que je fournis en illustration. La photo est floue, et je n'arrive pas à lire à lire les commentaires (sic) : -)
$n$ cercles sont tangents deux à deux et tous tangents intérieurement à un grand cercle de rayon donné. Les cas $n = 3, 5, 8$ sont représentés. Que peut-on conjecturer ?
Je vous souhaite beaucoup de plaisir à découvrir ce chapitre de l'histoire des mathématiques, qui n'a été abordé ici qu'une fois l'été dernier.
Marc
Les sangaku sont des tablettes votives accrochées dans les temples shinto. Elles présentent des théorèmes de géométrie, sans démonstration généralement. Même la propriété illustrée est à deviner (du moins pour qui ne lit le japonais).
http://www.sangaku.info/index.fr.html
De nombreuses autres références sont disponibles (Tangente, Pour la Science, Wolfram, etc.), et je pense que vous trouverez plaisir comme moi à chercher à résoudre l'une ou l'autre énigme.
Je vous pose de suite une question à propos du sangaku que je fournis en illustration. La photo est floue, et je n'arrive pas à lire à lire les commentaires (sic) : -)
$n$ cercles sont tangents deux à deux et tous tangents intérieurement à un grand cercle de rayon donné. Les cas $n = 3, 5, 8$ sont représentés. Que peut-on conjecturer ?
Je vous souhaite beaucoup de plaisir à découvrir ce chapitre de l'histoire des mathématiques, qui n'a été abordé ici qu'une fois l'été dernier.
Marc
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Réponses
si on appelle O' le centre d'un des petits cercles et B l'intersection du segment OO' et du petit cercle de centre O
alors la parrallèle à O'A passant par B coupe OA à une distance de 2PI de O quand n-> l'infini
on a une construction à la règle et au compas d'une approximation de Pi.
cela rejoints d'ailleurs la conclusion sur la photo:
la vache est à Pi,
le cercle est d'amis,
la vache n'a pas d'amis.
Cordialement ;-)
Cordialement Sylvain
Je serais surpris que ce sangaku soit une approximation, généralement le résultat est plus déterministe...
En tout cas, merci pour vos réponses. Des idées ?
Marc
le problème m'intéresse mais il me semble que sans un minimum de connaissance du japonais chacun puisse mettre sur ce dessin tout ce qu'il a envie d'y mettre. Personnellement je m'étais engagé dans des voies bien éloignées de celle de Muaddob, comparaisons des rayons, des aires des cercles. Ou encore le choix des entiers 3 , 5 , 8 qui peut faire penser à Fibonacci ...
Si quelqu'un pouvait nous éclairer sur le texte sous les figures ...
Amicalement
Domi
Mais j'ai conscience de la bêtise de cette approximation (elle est inéfficace).
C'était juste un peu tiré par les cheveux, car il me semble que constructions de telles figure n'est pas triviale, et qu'un des intérêts possible est le rapport des rayons qui est lié à Pi.
sinon, je suis un peu sec, en effet
en faisant une recherche Google "circles in cercles", on trouve par exemple:
<http://mathworld.wolfram.com/CirclePacking.html>
ou encore.
<http://www.stetson.edu/~efriedma/cirincir/>
Le problême est bien de trouver le rapport des rayons.
@+
Pierre
$$r=R\frac{cos(\frac{\pi(n-2)}{2n})}{1+cos(\frac{\pi(n-2)}{2n})}$$
Sylvain
Bien qu'analytique, cette formule est suffisament belle, et simple pour qui dispose de tables trigonométriques. Nul doute qu'au Japon on disposait de telles tables pour les fractions d'un angle droit.
Le voile est levé.
Marc
tant qu'à faire
r=R Sin(Pi/n) /(1+Sin(Pi/n))
Oump.
Pour finir, en vous remerciant, un autre dessin:
je me prends au jeu, ça m'énerve ...
bon déjà je suis parti sur un jeu de construction de figures à la règle, au compas et au sinus ?
j'ai l'impression qu'il faut construire les figures de couleurs à partir de l'existant. (ou bien l'inverse .... j'ai du mal à être d'accord avec moi même sur tous les exemples, les deux de gauche me disent faire le blanc, les deux de droites me disent faire le marron et le jaune ...)
est-on d'accord ?
tangent aux deux cercles jaunes, tangeant à une des droites tangentes aux deux cercles, tangeant au cercle enveloppant, lui même tangent aux trois cercles ...
non ?
Il me semble que les cercles de même couleur ont des aires égales. Le but serait alors de trouver quelle tangente au disque blanc permet d'inscrire les deux cercles jaunes.
Je ne pense pas que les deux cercles jaunes rencontrent le disque blanc...
Marc
Marc
Par exemple le 3°) pourrait ce traduire par le fait que si on inscrit le disque jaune dans le rouge et que l’on inscrit dans le disque rouge un cercle tangent au disque jaune , on obtient disons un disque bleu . On renouvelle l’opération en prenant le disque vert à la place du jaune , on obtient alors un disque blanc :
Aire(rouge) = Aire(bleu) + Aire (blanc)
Pour le tout premier Sangaku la relation sur les sinus ne me satisfait pas pleinement . Sans doute peut-on éclairer le problème autrement .
Domi
Ce que tu proposes est une belle illustration du théorème de Pythagore, j'en conviens. Je ne la lis cependant pas sur le dessin... Il fallait ton imagination ou ton savoir en japonais ;o)
Marc, à sec sur le 2 par exemple.
Rayon rouge = rayon jaune + rayon vert + rayon blanc .
Où le rayon blanc est le rayon du cercle inscrit dans le triangle blanc .
J'ai aussi attaqué le 2°) . Partant d'un disque jaune , on construis aisément le deuxième et le grand mais je suis embêté pour contruire le blanc . Cela doit être un grand classique de la géométrie de nos grands parents mais je cherche encore .
@+
Domi
Apparaissent alors plusieurs résultats , je ne sais pas lequel est attendu ici .
1ère constatation :
certains points de contact entre les cercles et le segment sont alignés .
2ème constatation :
si on note $r_1 , r_2 et r_3$ les rayons en ordre croissant :
$r_3 = 3r_1$ et $r_2 = \sqrt{\frac{13}{2}}r_1$
Pour le sangaku 3°) comme je n'ai pas eu de réponse je vous indique comment j'ai obtenu l'égalité sur les rayons . Il suffit d'appliquer la relation existant entre les côtés a, b de l'angle droit d'un triangle rectangle , son hypoténuse c et le rayon r de son cercle inscrit .
$2r = a + b - c$
Domi
Amicalement
Domi
Je ne comprends pas bien :-(
Déjà pour le sangak 3, je ne comprends pas la relation entre les rayons. En considérant les diamètres, elle a l'air fausse. Ai-je mal compris ?
Ta construction pour le 2) m'étonne aussi. D'où tiens-tu que le disque blanc a comme diamètre la distance entre les deux points que tu donnes ? En choisissant les cercles jaunes plus petits, à grand cercle constant, cette relation ne tient plus.
Les relations sur r1, r2, r3 sont bien les bonnes dans ce cas, mais le sangak illustrait-il cela ? Ton dessin ne correspond pas en tout cas : r3 n'est pas le triple de r1, et les rayons issus du centre du grand cercle aux centres des jaunes ne sont pas perpendiculaires sur l'original.
Je demande donc quelle condition supplémentaire imposes-tu pour avoir une construction unique, et pourquoi ? Saches que je suis bien content de n'être pas seul à me pencher sur ces mystères, et je m'excuse de n'avoir pas de suite répondu à ton interprétation du sangak 3, mais elle me laissait perplexe, puis je n'eu plus accès au site durant deux jours...
Bonne journée
Content de te retrouver .
A propos du 3°) je me suis un peu emmêlé avec mes rayons et diamètres . Je t'explique mon idée , tu me diras ce que tu en penses . Tout d'abord ce que je vois sur le dessin , le triangle blanc est rectangle , le disque bleu est le disque de diamètre l'hypoténuse et les trois autres sont de diamètre maximal et tangents aux côtés du triangle et au grand cercle .
Je note $2a$ , $2b$ , $2c$ les côtés du triangle et $r$ le rayon du cercle inscrit . Je note aussi $D_R$ , $D_J$ et $D_V$ les diamètres des petits cercles . On a alors :
$D_R=c=a+D_J=b+D_V$ et $r=a+b-c$ .
Alors $r=D_R-D_J-D_V$
Pour ce qui est du 2°) je suis d'accord avec ton objection je suis parti d'un cas particulier , les valeurs des rayons peuvent différer de celles que j'ai choisi . La propriété d'alignement des points de contact reste-t-elle vraie ? je vais y réfléchir .
Amicalement
Domi
voilà comment je vois les choses, pour le sangaku n°2.
Partant du grand cercle et des deux cercles jaune, on place dans l'ordre les points A, B, C et on obtient le centre O du cercle bleu.
J'ai essayé avec différentes tailles pour les cercles jaunes, ça a l'air de marcher. Affaire à suivre...
Cordialement, Pierre
Je ne suis pas sûr de ta construction , le logiciel de dessin (que j’expérimente avec difficulté en ce moment ) doute de ton résultat . Peut-être aussi ai-je mal compris ta construction ?
En tout cas le point de contact de ton dessin est très proche sinon identique à celui que j’obtenais avec le cercle de diamètre d’extrémité le sommet supérieur et le centre du cercle du bas ( voir pièce jointe ) .
@+ donc
Domi
Je ne suis pas sûr de ta construction , le logiciel de dessin (que j’expérimente avec difficulté en ce moment ) doute de ton résultat . Peut-être aussi ai-je mal compris ta construction ?
En tout cas le point de contact de ton dessin est très proche sinon identique à celui que j’obtenais avec le cercle de diamètre d’extrémités le sommet supérieur et le centre du cercle du bas ( voir pièce jointe ) .
@+ donc
Domi
pour Domi:
quelques explications sur ma façon de travailler (?)
tout d'abord le logiciel que j'utilise est "Paint", qui n'est pas réputé pour sa précision.
Pour bien apprécier les points de tangence, j'ai dû faire mes cercles jaunes relativement grands, ce qui m'a de fait induit en erreur. En partant de ta construction, je m'en suis vite rendu compte: le centre du dernier cercle ne se trouvait pas ou il aurait dû.
Autant pour moi. Ce n'est pas la première fois que je me jette tête baissée contre le mur!
A+, (et à tête reposée)
Pierre
il y a peu (quelques semaines ) j'en étais aussi à utiliser Paint qui me suffisait largement pour illustrer les cours et contrôles que je fais subir à mes élèves . J'ai découvert sur ce site le logiciel gratuit 'declic' et c'est celui que j'utilise maintenant , il est très convivial précis et simple pour quelqu'un de moins allergique que moi à l'informatique . En tout cas ce logiciel me permet de raconter un peu moins d'âneries ( de toutes façons rassure-toi tu dois encore en dire beaucoup avant d'approcher mon record ).
@+ donc
P.S: j'ai commencer à regarder le 1°) qui m'inspirais peu hormis la constatation évidente que les centres des cercles formaient un 'cerf-volant' . Le problème semble bien plus interessant si on considère que les deux disques blancs n'ont pas le même rayon ( ce qui semble être le cas sur l'image ) .
Domi
soit deux cercles jaunes $C_1$ et $C_2$ respectivement $O_i$ leurs centres,
$T_i$ leur point de tangences avec la droite H (horizontale) et R leur rayon commun.
Soit O le centre du grand cercle !
1- on peut construire le lieu des centres d'un cercle circonscrit à $C_1$ et $C_2$.
comme $C_1$ et $C_2$ ont le même rayon, il suffit de tracer la médiatrice de $[O_1,O_2]$, c'est le lieu des centres des cercles circonscrits à $C_1$ et $C_2$. Appelons D cette droite.
2- On construit un cercle tangeant à H et à $C_2$
on trace la parallèle à H passant par $O_1$. On choisi arbitrairement un point P sur cette droite D' . Alors la médiatrice de $[P,O_2]$ est le lieu des cercles tangents à $H$ et à $C_2$
D' et D sont sécante en $O_3$ (définition) (sinon c'est qu'on a choisi P comme un pied et on recommence ;-) )
on trace le cercle de centre $O_3$ tangent à H et à $C_2$ ...
3- on construit le lieu des cercles tangents à $C_2$ et à $C_3$
on trace la perpendiculaire à D, à une distance $R_3+R$ de $O_3$ (il suffit de reporter R après l'intersection de D et $C_3$. On appelle P' l'intersection de cette perpendiculaire et de D.
La médiatrice D'' de $[P', O_2]$ est le lieu des cercles tangents à $C_2$ et $C_3$.
D'' coupe D en O
CQFD !!
youpi !! (pourvu que j'ai juste ...)
soit deux cercles jaunes $C_1$ et $C_2$ respectivement $O_i$ leurs centres,
$T_i$ leur point de tangences avec la droite H (horizontale) et R leur rayon commun.
Soit O le centre du grand cercle !
1- on peut construire le lieu des centres d'un cercle circonscrit à $C_1$ et $C_2$.
comme $C_1$ et $C_2$ ont le même rayon, il suffit de tracer la médiatrice de $[O_1,O_2]$, c'est le lieu des centres des cercles circonscrits à $C_1$ et $C_2$. Appelons D cette droite.
2- On construit un cercle tangeant à H et à $C_2$
on trace la parallèle à H passant par $O_1$. On choisi arbitrairement un point P sur cette droite D' . Alors la médiatrice de $[P,O_2]$ est le lieu des cercles tangents à $H$ et à $C_2$
D' et D sont sécante en $O_3$ (définition) (sinon c'est qu'on a choisi P comme un pied et on recommence ;-) )
on trace le cercle de centre $O_3$ tangent à H et à $C_2$ ...
3- on construit le lieu des cercles tangents à $C_2$ et à $C_3$
on trace la perpendiculaire à D, à une distance $R_3+R$ de $O_3$ (il suffit de reporter R après l'intersection de D et $C_3$. On appelle P' l'intersection de cette perpendiculaire et de D.
La médiatrice D'' de $[P', O_2]$ est le lieu des cercles tangents à $C_2$ et $C_3$.
D'' coupe D en O
CQFD !!
youpi !! (pourvu que j'ai juste ...)
Je regarderai la construction de muaddob ce soir. Mais qu'as tu trouvé ? A construire le cas général ? Où est la substance de ce sangak, son éon ? Quelle relation est mise ici en illustration ?
En réponse à Domi au 3), je suis d'accord, très belle relation en effet.
Quant au 2) $\sqrt{\frac{13}{2}}$ est certes un joli nombre vu que son exponentielle vaut $12,8$, mais alors ... pourquoi ça colle pas au dessin ?
Marc
(c'est déjà pas mal pour moi, puisque j'ai eu du mal (un peu bizarre comme phrase ça)
maintenant que j'ai construit la figure il me reste à voir si le choix de P est totalement arbitraire ou pas !
j'essaie de faire une figure
Merci pour la figure , ton texte ma donné mal au crane }:-((. Le choix du point P n'est sûrement pas arbitraire puisqu'il correspond (sur ton dessin en tout cas) , au point de contact entre le disque blanc et la corde . D'autre part , c'est mon interprétation du dessin , une fois choisis les deux disques jaunes , le choix du grand disque semble unique pour des raisons de symétrie . De toute façon , ton dessin colle au problème ,il reste à en trouver l'âme .
Domi
mais je cherche dans le dessin une "contrainte" supplémentaire sur P qui illustre une propriété ...
Amicalement
Domi
P.S : tant que le grand cercle n'est pas construit D' n'est rien d'autre qu'une droite et le terme corde n'a pas de sens :-))
je pense que ce sangaku illustre l'art de construire des cercles tangent à trois cercles, tangent à deux cercles et une droite etc....
le 1 (en partant de la gauche). étant donné deux cercles cotengent et intérieur à un troisième construire les deux cercles possible tangent à ces trois cercles
le 2- étant donné deux cercles cotengent à une droite et de part et d'autre de cette droite. Construire deux cercles 1 tangent à un cercle et à la droite, l'autre cotengent aux trois cercles.
le 3- étant donnés trois cercles quelconques construire un triangle tangent à chacun des cercles, et dont le cercle circonscrit est cotengent aux trois cercles
le 4- étant donné 6 cercles de même rayon R situé sur les sommets d'un hexagone de rayon >R. construire le cercle C tangent à tout ce beau monde Et construire les 6 cercles tangents entre eux deux à deux, tangents à C et tangent à un cercle initial chacun
le 5 c'est pas clair ou alors trop facile, j'ai envie de dire :
soit un triangle isocèle. construire le cercle C1 passant par les deux sommets de la base, ET tangent au deux cotés égaux. pour la forme, tracer le cercle tangent à la base du triangle et à C1. enfin, construire le cercle tangent à C1 passant par le dernier sommet du triangle.
voilà une belle leçon sur les tangences
cercles^3
cercles^2 droite
cercle^2 triangle
cercle^6
cercle sommet, droite^2
ça me semble déjà pas mal non ?
explications:
soit $C_{int}$ cercle intérieur, et $C_e$ cercle extérieur (respectivement $O_{int}$ et $O_e$ leur centre, et $R_{int}$ et $R_e$ leur rayon)
Je construis deux autres de cercles de constructions :
$C_{e+{int}}$ cercle de centre $O_e$ de rayon $R_{int}+R_e$.
et
$C_{int+x}$ cercle de centre $O_{int}$ de rayon quelconque donc pour faire jolie : $R_int+R_e$.
soit $I_i$ un point sur le cercle $C_{e+int}$.
On appelle très temporairement $T_i$ l'intersection du segment $[O_e, I_i]$ et du cercle $C_e$. alors le centre du cercle tangent à $C_e$ en $T_i$ est à $C_i$, est à l'intersection de la médiatrice de $[I_i, O_{int}]$ et du rayon $[O_e, T_i]$.
on a construit 4 de ces points avec les éléments de construction d'une couleur pour chaque indice.
l'ensemble des points est sur une ellipse.
(j'ai pas pris de raccourci de construction, j'ai dessiné plus de points que nécessaire, pour la beauté du résultat, on peut proposer des algos de dessins de tels ellipses plus rapide. en particulier ce serait tellement beau si les foyer de cette ellipse étaient simplement $O_{int}$ et $O_e$ ....)
partant, on sait construire l'ensemble des cercles tangent à un cercle intérieur et à un cercle extérieur.
donc on sait construire LES deux cercles blanc de la figure 1 !!
ça facilite grandement les construction 1 et 2
de plus, pour la figure trois, Zil me semble que le lieu des centres d'un cercle tangent à un cercle et une droite tangente, C'est une parabole (juste comme ça ... parce que je tape plus vite que je ne pense) ...
aurions nous à faire à une d'intersection de coniques ? j'ose à peine y penser ....
J'en suis à considérer l'inversion qui amène C2 en C3 . Je n'ai pas encore abouti mais ce serait malheureux si on arrivait pas à en retirer une relation entre les rayons .
@+ Domi
<http://www.cabri.net/abracadabri/abraJava/ConikCJ/EucliCJ/Para03CJ.html>
regardez l'animation !! (et en plus en double clickant sur l'anim on fait apparaitre une barre d'outils qui permet de jouer avec
dans le cas avec la droite H, H est la directrice, et le point de tangence est le foyer.
par contre je n'arrive pas à déterminer
pour muaddob:
tu as oublié de finir ta phrase, tu voulais dire :
je n'arrive pas à déterminer une seconde parabole donc l'intersection avec la première permettrait de résoudre la figure !
j'ai pas la démo mais je le sens très fort :
le centre des cercles tangents à C2 et H avec H tangent à C2 est la parabole qui a pour cercle surosculateur C2. Donc la droite passant par le centre de C1 est la directrice ce cette parabole.
le centre des cercles tangents à C et à H H coupe C, est la parabole P défini par :
on prend une parallèle à H à une distance vers le bas de R (rayon du grand cercle), c'est la directrice.
On a deux points en plus (H inter C )
donc le centre de C3 est l'intersection de ces deux paraboles
voilà !!
je peux pas faire mieux !