bonjour
Comment montre t'on, dans une espace affine de dimension finie $n$,
qu'une isométrie est une application affine bijective dont l'application linéaire associée est un endomorphisme orthogonal?
sans utiliser les décompositions en reflexion
meric
Réponses
---> c'est la définition !
(on montre ensuite qu'elle conserve les distances)
Une isométrie d'un espace affine de dimension finie est une application qui conserve les distances, ce qui entraîne incidemment qu'elle est injective ; Les segments ayant une caractérisation par les distances $M \in [AB] \iff AB = AM + MB$ ; une isométrie conserve l'alignement ; elle conserve également les rapports de mesures algébriques car ceux-ci sont déterminés par les distances donc une isométrie conserve les barycentres et c'est une application affine injective ; si $E$ est de dimension finie, c'est nécessairement une transformation affine.
Bruno
Ayant cette égalité, la linéarité de f s'obtient en calculant
|f(x+y)-f(x)-f(y)|² et |f(k.x)-k.f(x)|² (on développe, on écrit l'égalité (f(x)|f(y))=(x|y) ce qui se ramène formalement à |(x+y)-x-y|² et |(k.x)-k.(x)|² soit 0.
Une isométrie vectorielle dans un espace euclidien est donc linéaire et est donc orthogonale. Une isométrie affine dans un espace euclidien est donc affine.
Cela répond à ta question?
je m'explique
tu composes f avec un translation pour te ramener à f(0)=0 (ok)
ensuite tu montre qu'une isométrie vectorielle est linéaire (facile)
mais comment passe tu du vectoriel à l'affine ?
sinon c'est le genre de réponse que j'attendais
merci
Réciproquement, un espace affine non vide est associé de façon canonique à un espace vectoriel (sa direction en l'occurrence) par x <-> Ox (vecteur Ox)
D'où le passage affine <-> vectoriel de ce raisonnement
Bonsoir Bruno,
Pourquoi dis-tu que nous sommes en léger désaccord ? ... puisque nos
définitions sont équivalentes (d'après la démo de Prof_) :
f conserve les distances f affine et $\vec{f}$orthogonale
Il est vrai que ta définition est plus logique étymologiquement !
Peut-être distingues-tu les cas où E est de dim finie ou infinie ?
J'ai écrit "léger désaccord" (je préfère le vers de Brassens "un soupçon de réserve toutefois", mais je ne pouvais pas le caser) car je pense inverser l'ordre des concepts.
J'estime que le point de vue ponctuel se déroule de la façon suivante : une isométrie est une application de $E$ dans $E$ qui conserve les distances. A priori, on ignore si c'est une bijection, si c'est une application affine et donc s'il existe un automorphisme orthogonal associé.
On peut sans aucun doute remonter très vite aux applications affines en transformant un repère cartésien orthonormé ; mais j'aime bien rester dans le point de vue ponctuel, cela me semble plus naturel et cela force les petites cellules grises des étudiants à fonctionner alors qu'ils ont un mal fou à travailler sur des points au lieu de vecteurs. J'en reste donc aux points tant que je n'alourdi pas les développements.
Au passage, j'ai eu tort dans mon intervention précédente de parle des rapports de mesures algébriques, je travaillais de mémoire et j'ai mélangé deux choses. Le plus simple est de montrer directement qu'une isométrie conserve les barycentres de deux points : si $M \in (AB)$, alors si $M \in [AB]$ c'est le barycentre de $(A,MB)$ et de $(B,MA)$ et si $M \in 'AB) \setminus [AB]$, alors $M$ est le barycentre de $(A,MB)$ et de $(B,-MA)$. Comme on a depuis longtemps montré qu'une application de $E$ dans $F$ est affine si, et seulement si elle conserve les barycentres de toute paire de points, le tour est joué.
Bruno
non seulement ton approche a le mérite de ne pas retourner dans l'espace vectoriel, mais en plus elle est plus simple !
Bonne journée !
J2L2
Bruno
J'ai un petit soucis sur ta démo du "04-07-06 10:35"
que j'ai essayé de finir.
On veut montrer qu'une application $f$ tq pour $\forall (A,B) \in P^2, f(A)f(B)=AB$ est affine.
Montrons donc que $f$ conserve les barycentres.
Je reprends ta démo:
On a deux points $A$ et $B$ distincts.
Soit $M \in (AB)$
1er cas) $M \in [AB]$ alors $M=Bar[(A,MB);(B,MA)]$
ie $MB\,\overrightarrow{MA}+MA\,\overrightarrow{MB}=\vec 0$
2e cas) $M \in (AB)$-$[AB]$ alors $M=Bar[(A,MB);(B,-MA)]$
pour le 1er cas: on aimerait montrer que $f(M)=Bar[(f(A),MB);(f(B),MA)]$
ie que on veut montrer que $MB\,\overrightarrow{f(M)f(A)}+MA\,\overrightarrow{f(M)f(B)}=\vec 0$
mais pour cela il nous faudrait montrer que
$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{f(M)f(A)}$
et $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{f(M)f(B)}$
or nous n'avons dans tes hypothèses que $MA=f(M)f(A)$
et $MB=f(M)f(B)$
Ai-je omis quelque chose ?
C'est probablement moi qui n'en ai pas assez écrit. Je vais mettre des lettres primées pour les images.
Puisque $f$ est une isométrie, elle envoie tout point du segment $[AB]$ en un point du segment $[A'B']$ car $M \in [AB] \iff AM + MB = AB$, donc $A'M' + M'B' = A'B'$ et $M' \in [A'B']$. Du coup, $M'$ est le barycentre de $(A',M'B') = (A',MB)$ et de $(B',M'A') = (B',MA)$. L'application $f$ conserve bien les barycentres des points $A$ et $B$ dans ce premier cas.
Bruno
J'aurais donc besoin d'un avis sur ce plan de leçon :
Définition des isométries planes dans un plan affine euclidien juste par la conservation des distances.
Montrer comme l'a fait Bruno ci-dessus la conservation du barycentre.
Mais puisqu'ici nous n'avons aucun prérequis, continuer par :
l'image d'un triangle est donc un triangle isométrique, on a donc conservation des angles géométriques.
En utilisant la formule :
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=||\overrightarrow{AB}||.||\overrightarrow{CD}||cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})$
et la conservation des angles géométriques on a aussi la conservation du produit scalaire un peu plus adapté à un niveau secondaire...
De là j'en déduis aussi les conservations des figures usuelles.
Dans une seconde partie je présenterai les isométries planes usuelles, présenterai les composées de certaines d'entre elles pour finir avec le théorème de Cartan Dieudonné qui se démontre avec des choses simples...
cela vous semblerait-il correct ?
En premier lieu, je rappelle qu'il y a dix ans que je suis en retraite et cela m'a éloigné du milieu du jury. Ceci pour te dire qu'il ne faut pas prendre mes idées pour argent comptant.
La question qui me vient à l'esprit c'est : "que sont deux triangles isométriques ?". Autre façon de poser le problème, c'est : "Pourquoi deux triangles isométriques ont-ils des angles égaux ?". Car dans ta façon de présenter la chose, il y a un aspect magique. Tu ne peux éviter de réfléchir à comment faire ? Je pense que tu es en train de mettre en jeu les relations métriques dans les triangles.
Ceci dit, je pense qu'on ne peut se passer de donner très vite un exemple d'isométrie et le plus simple est de montrer qu'une symétrie par rapport à une droite est une isométrie. A partir de là, autant montrer que toute isométrie est le produit d'au plus trois symétries par rapport à des droites.
Mais ce n'est sans doute pas l'objectif de ton exposé.
Bruno
Merci pour cette réponse.
Il me semblait "trivial" que deux triangles ayant 3 côtés de même longueur avaient même angles (ceci ne pourrait-il pas être une conséquence du théorème d'Al Kashi par exemple...?).
La difficulté qui se pose parfois à cette nouvelle formule du CAPES : présenter une leçon de niveau secondaire tout en faisant des choses relativement intéressantes.
Je cherchais donc à montrer un certain nombre de propriétés de l'isométrie, sans avoir recours aux applications affines, linéaires associées, etc...
D'où le déroulement du type :
-Définir une isométrie
-montrer la conservation du barycentre, puis des figures usuelles
-présenter les isométries usuelles et quelques composées
-montrer qu'une isométrie et le produit d'au plus trois réflexions (ce que je voulais évoquer par Cartan-Dieudonné)
Pensez-vous que le second point est de trop et que je ferai aussi bien de passer directement au troisième ? Ce qui m'éviterait de me battre avec les conservations de barycentre et de produit scalaire, ce qui n'est pas toujours évident quand on part d'une application qui est juste "ponctuelle" est pas nécessairement affine...
Appliquer le théorème d'Al-K\=ashi ne me paraît pas justifier le terme de trivial pour la conséquence à démontrer
me paraît un plan d'ambition raisonnable ; combien as-tu de temps pour ton exposé ? Ce que je vois là correspond bien à un exposé de 25 minutes où l'on démontre au moins un théorème et où l'on indique les idées forces des autres démonstrations. L'épreuve a-t-elle beaucoup changée ?
Ce dont je ne vois pas trop l'intérêt, c'est le rapport avec le produit scalaire : celui-ci relève du vectoriel, les isométries concernent l'affine. Si tu veux utiliser le théorème d'Al-K\=ashi, il faut connaître le produit scalaire et ses applications avant d'aborder ces isométries...
Je suis près à discuter plus avant si cela peux t'apporter quelque chose. Il faut faire attention dans tout exposé de Capes à ne pas fabriquer involontairement un cercle vicieux (truisme toujours bon à rappeler).
Cordialement,
Bruno
Les formalités de l'épreuve orale ont un peu changé : on expose le plan pendant 15 min, en y mettant seulement l'énoncé des propriétés et les définitions. Il nous est ensuite demandé de développer une partie du plan exposé (une démonstration le plus souvent), choisie par le jury. Puis un dernier quart d'heure d'entretien.
Avant votre preuve pour la conservation du barycentre, j'avais pour idée de le montrer en utilisant la conservation du produit scalaire. Mais j'ai trouvé cela périlleux puisque je ne pouvais pas considérer d'application linéaire associée... Comme vous le faites remarquer, je n'ai plus besoin d'aborder le produit scalaire effectivement.
Un dernier point cependant : la conservation des angles géométriques peut-elle ne pas être évoquée ? S'il le faut, difficile de ne pas aborder le produit scalaire, ou un théorème qui en découle non ?
Encore merci,
cordialement, Kévin.
Je pense que tu te consacres uniquement aux transformations du plan qui conservent les distances. Maintenant que sont les angles de vecteurs unitaires ? Ce sont les classes d'intransitivité de l'action du groupe des isométries sur les couples de vecteurs unitaires... Inutile de t'expliquer pourquoi il faut parler de la conservation des angles
Par contre, je mettrai dans cette affaire la version affine de ce point de vue : d(A,B) = d(C,D) si, et seulement si il existe une isométrie qui transforme A en C et B en D.
Je crains malheureusement qu'il soit difficile d'aborder le groupe des déplacement et leur caractérisation par un point et un angle orienté. On peut définir les déplacements comme les isométries produit de deux symétries et les angles directs comme ceux qui se correspondent par un déplacement...
Puisqu'il s'agit de fournir un plan, à toi de voir si tu te sens à l'aise sur ces notions.
Bruno
Je ne pense pas que le but soit d'arriver jusqu'aux déplacements, mais cela peut être point à développé pendant l'entretien.
Merci beaucoup Bruno!
Bruno
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> La difficulté qui se pose parfois à cette nouvelle
> formule du CAPES : présenter une leçon de niveau
> secondaire tout en faisant des choses relativement
> intéressantes.
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Le rapport du jury dit :" Dans un premier temps (quinze minutes maximum), le candidat expose un plan d’étude détaillée du sujet qu’il a choisi.
Dans un second temps (quinze minutes maximum), le candidat développe une partie de ce plan d’étude, choisie par le jury.
L’épreuve se termine par un entretien avec le jury portant sur ce développement, puis sur d’autres aspects relevant du sujet choisi par le candidat".
L'entretien dure donc environ 30 min...
"Leçon portant sur les programmes de mathématiques du collège, du lycée [size=x-large]et[/size] des sections de techniciens supérieurs"
et aussi:"le plan, clairement structuré, se situe à un niveau différent de celui de l’exposé des épreuves antérieures"
Il y a peut être des questions nouvelles à se poser : des isométries s'étudient au collège (et même en primaire), comment? pourquoi? Que reste il de ces transformations dans le programme de 2013? que fait on en BTS sur ce sujet?
Enfin ce n'est que mon avis..... Bon courage