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Qu'est ce qu'une perpendiculaire?

Envoyé par AlainLyon 
AlainLyon
Qu'est ce qu'une perpendiculaire?
31 mai 2006, 10:51
Cette question est peut-être hors math et du domaine de la physique ou de l'épistémologie, je l'ai mise dans la section agrégation, pour signifier que je la pose aux futurs enseignants, mais j'ai du mal à lui attribuer un niveau.

On peut toujours attribuer une structure d'espace affine de dimension finie d à R**d : Les points sont les d-uplets (x1,...,xd), l'action de l'espace de l'espace vectoriel R**d est la suivante: Si v est le vecteur (v1,...,vd) et A le point (a1,...,ad) alors l'image B de A par opération de v sur A est le point B (a1+v1,...,ad+vd). A B v étant quelquonques on a définit une opération du groupe (R**d,+) sur l'ensemble R*d qui opère simplement et transitivement. A son tour l'espace vectoriel R**d, donc l'espace affine R**d, peut être muni d'une structure euclidienne de la façon suivante : fixons une base arbitraire B=(v1,...,vq) et
appelons PhiB l'unique forme bilininéaire symétrique (elle est de plus définie positive) telle que PhiB(vi,vj)=0 si i est différent de j, PhiB(vi,vj)=1 si i=j.

A présent choisissons d=2. Je déduis de tout cela que deux droites sécantes du plan sont toujours orthogonales ou perpendiculaires pour un "bon choix" d'une forme bilinéaire symétrique. Pourtant si on demande de tracer au tableau, à un professeur ou un élève, une
perpendiculaire à une droite, ils privilégient une seule direction, donnée par "la géométrie"
( en utilisant un compas par exemple). Qu'est ce donc qu'une perpendiculaire?
<latex> Il y a un choix naturel de base dans $\R^d$, à savoir la base canonique. La forme bilinéaire symétrique associée est le produit scalaire usuel, qui donne la notion usuelle de droite perpendiculaire. Quant à savoir pourquoi elle donne bien cette notion, c'est une question de nature philosophique sans doute... Ai-je bien compris le sens de la question?
Re: Qu'est ce qu'une perpendiculaire?
31 mai 2006, 12:00
avatar
<latex> Salut AlainLyon.

Je pense que ton problème vient de la confusion (que tu fais explicitement) entre une notion géométrique (perpendiculaire, liéé à des notions d'angles égaux, de verticale et d'horizontale, etc) et une notion algébrique (produit scalaire nul).
Les notions algébriques ont été construites pour généraliser dans les calculs les notions géométriques (Par exemple pouvoir dire dans la théorie des séries de Fourier que sin et cos sont orthogonales). Utiliser la généralisation pour revenir de façon biaisée sur la notion généralisée produit toujours des effets bizarres, mais vains.
Un souvenir : En 1969, j'ai donné des cours particuliers à un élève de quatrième, dont le livre de maths (programmes officiels !) donnait la définition d'un axe : "Un axe est la donnée d'une droite D et d'une famille F de bijections de D sur $\R$ telle que si f et g sont deux bijections appartenant à F, on a f(M)= a g(M) +b où a et b sont des réels et a>0" (programmes officiels !). La rédaction était légèrement différente, je la traduis de mémoire, mais je respecte l'idée. Je te laisse imaginer l'intérêt d'une telle définition en quatrième. J'ai expliqué que c'était une façon un peu démente de dire une droite avec un sens (et j'ai laissé de côté l'aspect respect de l'ordre des points de la droite).
En fait, on peut tout faire dire à une axiomatique mathématique, mais il faut éviter de la traduire n'importe comment quand on veut revenir à l'origine des notions.

Cordialement
Re: Qu'est ce qu'une perpendiculaire?
31 mai 2006, 12:11
Bonjour,

C'est simplement parce que l'espace physique dans lequel nous vivons est un espace euclidien. Il y a, physiquement, un produit scalaire privilégié. Cela n'empêche que, effectivement, deux doites vectorielles quelconques du plan sont orthogonales pour un certain produit scalaire.

Glop
jpvann
Re: Qu'est ce qu'une perpendiculaire?
31 mai 2006, 15:16
L'espace physique dans lequel nous vivons n'est pas un espace euclidien.
Un espace euclidien est une abstraction mathématique (pléonasme) dont
la définition a été conçue pour pouvoir modéliser l'espace physique
et cela marche au moins à une certaine échelle (mécanique newtonienne).

Cela dit, on a une idée de ce qu'est un angle droit dans l'espace
physique et c'est celui la qu'on dessine toujours . Physiquement, il
est donné par le niveau à bulle et le fil à plomb, c'est à dire des phénomènes
physiques. Et c'est cet angle qu'on a dans l'oeil, à défaut du compas.

La représentation des perpendiculaires par cet angle physique est une convention que nous connaissons depuis l'école primaire où la
géométrie nous est présentée par référence à notre expérience du monde qui nous entoure (ce qui est bien normal) et cela devient tellement naturel
pour nous qu'on en oublie la différence entre mathématiques et physique.
Mais le raisonnement mathématique que l'on fait pour établir une
propriété géométrique est indépendant du dessin que l'on fait, seules
comptent les relations entre les divers objets sur lesquels porte le
raisonnement.
Boussi-Coutto
Re: Qu'est ce qu'une perpendiculaire?
31 mai 2006, 20:02
Excellente question !

Pour y répondre, il est bon de penser à la notion de solide et à l'idée de déplacement, dans ses aspects physique et mathématique.
Franck-Eustache
Re: Qu'est ce qu'une perpendiculaire?
31 mai 2006, 20:51
Je vais surement dire une énormité mais pour moi cette notion d'orthogonalité est très liée à la pesanteur, cette force que l'on connait depuis toujours, qui est omniprésente autour de nous. Lorsqu'on modélise la stabilité d'un cylindre posé sur un plan, elle optimale lorsque le cylindre a son axe confondu avec la normal du plan.

Des lors une modélisation d'un problème physique nécessitant un repère, on choisit naturellement comme base de l'espace la base canonique où les axes sont orthonormaux, au sens où ils se trouvent dans une position de stabilité maximale les uns par rapports ,aux plans formés par les 2 autres.

Imaginons maintenant que la gravité ne soit plus dirigée vers le centre de la terre, mais soit légèrement décalée de sorte que l'axe du cylindre ne soit plus confondue avec la normale du plan. Je pense qu'alors on choisirait le produit scalaire adapté s'annulant dans cette situation optimale d'un point de vue stabilité.

Cela dit mon raisonnement est quelque peu falacieux en ce sens que tout dépend de comment on considère l'expérience :

- soit on change brusquement les lois de la nature (à savoir la gravité n'étant plus orientée vers le centre) et alors je pense que le cerveau humain serait completement à l'ouest (on aurait tous des démarches de types bourrés)

- soit on imagine que les lois de la nature sont légèrement différentes depuis des milliards d'années. Dans ce dernier cas je pense que finalement on ne verrait pas la différence, ne connaissant pas d'autre point de vue.

Bon c'est un peu confus mais quand la question est interessante c'est dur de resister ;P

En espérant avoir dit trop de conneries ;)

t-mouss
Re: Qu'est ce qu'une perpendiculaire?
01 juin 2006, 12:46
avatar
<latex> Bonjour.

Pour répondre au titre "Qu'est-ce qu'une perpendiculaire", tout est dans la notion d'orthogonalité. Comment définit-on l'orthgonalité dans un espace affine réel de dimension $n$ ?

Se donner une relation orthogonalité c'est se donner une hyperquadrique propre de type ellipsoïde. On appelle {\bf ombilic} l'ensemble des points à l'infini de cette hyperquadrique (en passant au complété projectif de l'espace affine). Dans ces conditions, si l'on se donne deux droites, elles sont orthogonales si, et seulement si leurs points à l'infini sont conjugués par rapport à l'ombilic.

A noter que, dans cette affaire, on ne parle ni de norme, ni de produit scalaire, pour la simple raison qu'à cette hyperquadrique (ou à la relation d'orthogonalité) est associée une famille de produits scalaires qui diffèrent les uns des autres d'un facteur positif (une demi-droite).

Les similitudes sont les transformations affines qui conservent l'ombilic et les isométries sont les similitudes de rapport $1$.

Bruno
fb
Re: Qu'est ce qu'une perpendiculaire?
01 juin 2006, 13:14
Bonjour,

Il me semble que dans les Elements, Euclide "définit" la notion d'angle droit ainsi : étant donnée une droite, on appelle perpendiculaire une sécante qui délimite deux angles égaux avec la droite de départ. L'angle droit est alors l'angle formé par une telle perpendiculaire. Cette notion suppose donc connue celle d'angle, qui est admise dans les Elements.
Re: Qu'est ce qu'une perpendiculaire?
01 juin 2006, 15:34
avatar
Bonjour.

Juste pour préciser : on trouve chez Euclide la définition 8 :

Un angle plan est l'inclinaison l'une sur l'autre, dans un plan, de deux lignes qui se touchent l'une l'autre et ne sont pas placées en ligne droite.

Donc Euclide donne une définition d'un angle ainsi qu'en définition 9 d'un angle rectiligne.

Bruno
Soraya59
Re: Qu'est ce qu'une perpendiculaire?
11 octobre 2014, 16:13
Bonjour je ,m'appelle Soraya j'ai 11 ans je suis en 6 Eme et je ne sais toujours pas ce qu'est une perpendiculaire.Je me sens complétement ridicule cette age la !
Re: Qu'est ce qu'une perpendiculaire?
11 octobre 2014, 17:06
Bonjour,
Une perpendiculaire toute seule, tu ne trouveras pas.
Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en un point et forment un angle droit.
Plus fort, une droite est perpendiculaire à un plan si elle coupe ce plan en un point $H$ et est perpendiculaire à toutes les droites du plan passant par $H$.
Une verticale est ainsi perpendiculaire à un plan horizontal.
Cordialement
ev
Re: Qu'est ce qu'une perpendiculaire?
11 octobre 2014, 17:21
avatar
Bonjour Soraya.

On n'est jamais ricule d'être ignorant. On devient ridicule en voulant le rester.

Une perpendiculaire à une droite est une autre droite, qui fait avec la première droite un angle droit.

De ce fait, la première droite est aussi perpependiculaire à la seconde.

On peut ainsi dire que les deux droites sont perpendiculaires entre elles.

Sur le dessin, la droite (AB) est perpendiculaire à la droite (BC).


Soigne ton orthographe et continue d'avoir envie de t'instruire.

e.v.


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