Inversion, porisme de Steiner

Re-bonsoir pour la figure :
En bleu les cercles concentriques C1 et C2
En rouge le cercle d'inversion
En vert les transformés C'1 et C'2, cercles égaux

Bonjour RSA

J'utilise ce logiciel libre et gratuit :
Declic <http://emmanuel.ostenne.free.fr/&gt; (suivre : Declic puis téléchargement)
qui permet aussi d'animer les figures géométriques.

Alain

bonjour, pour information ce résultat est crucial dans la demo du "porisme de Steiner"....

Il est vrai que l'alternative (ou porisme ) de Steiner est l'une des plus jolies applications de l'inversion.Un problème de concours d'entrée à Supaéro , il y a une quizaine d'années, en était le sujet.
Dans Google, il y a pollution pour s'y retrouver car un Steiner a créé une école alternative (sic) .

Je fais remonter le post...

J'ai besoin d'un avis de la part de l'un des modérateurs : je continue sur ce fil ou j'en crée un autre ?...
Merci d'avance


[Continue sur celui-ci, ainsi lors d'une Recherche sur le forum, tout sera groupé. AD]

D'accord elle n'est pas holomorphe mais elle est antiholomorphe, c'est-à-dire dérivable par rapport à $\bar{z}$ (où encore, $\bar{f}$ est holomorphe). Dans ce cas la différentielle de $f$ en un point $a$ tel que $\bar{f}'(a) \neq 0$ est une similitude indirecte. Donc elle est "anti-conforme".

Je suis inculte et j'en ai honte, mais c'est que le porisme de Steiner ?

Bon je ne suis pas un pro des inversions mais je me lance.

a) Je pense que l'inversion échange l'intérieur et l'extérieur du cercle si et seulement si le centre de l'inversion est intérieur au cercle.

b) Une inversion est différentiable (preuve analytique comme tu l'as dit). Mais géométriquement je ne saurais même pas définir proprement "deux courbes tangentes" alors je ne peux pas t'aider.

c) Essaie de calquer le raisonnement d'Alain dans le second post de ce sujet ; la situation est un peu différente mais tu dois pouvoir l'adapter.

Pour le b), ton idée allait dans le bon sens en envisageant une fonction holomorphe.
Considère l'inversion de $\R\setminus\{(0,0)\}$ dans lui-même et calcule sa différentielle. Deux variables réelles sont parfois plus pratiques qu'une variable complexe.

un grand merci à vous egoroff et gb

egoroff :
*je ne connaissais pas l'antiholomorphie...comme elle est anticonforme, celà veut il dire qu'elle transforme un angle de vecteurs en son opposé ??

*les courbes sont tangentes dès qu'elles ont une tangente commune en un point donné; en ce point elle ont également la même normale; en ce point la normale est perpendiculaire aux deux courbes; par chance (je crois...) que l'image d'une droite par une inversion est encore une droite; ainsi l'image de la normale sera perpendiculaire aux deux images (anti-conformité ), et sera donc la normale des deux images; les courbes ayant un point commun elles seront nécéssairement tangentes; est- ce correct ??

* le porisme de Steiner :
Soient deux cercles C1 et C2 dont l'un est intérieur à l'autre. On consruit une suite de cercles G_n telle que
G_n est tangent à C1 et C2
G_n est tangent extérieurement à G_n+1
G_n+2<>G_n
Alors :
*ou bien il existe p tel que G_p=G_p+1, autrement dit la suite de cercles est périodique de période p
*ou bien G_m<>G_k pour tous m et k

on peut encore le formuler de la manière suivante
selon que Arsin[(a-b)/(a+b)] est rationnel ou non, on a le résultat précédent où a et b sont les rayons des transformés de C1 et C2 par une inversion qui les rend concentriques

gb et egoroff : un dernier point, et je sais que je ne devrais pas...mais comment peut on ne pas être holomorphe (c'est à dire ne pas être C-différentiable) et être R2 différentiable ? c'est difficile pour moi...

autrement dit : l'inversion est une involution, elle est donc facile à inverser; celà étant fait, je forme la matrice jacobienne 2.2 des dérivées partielles par rapport à chacune des variables et après qu'est ce que j'en fais ?? comment puis je tout réunir,...

merci

ailpe> l'image d'une droite par une inversion n'est pas toujours une droite.
Si la droite passe par le pôle $O$ de l'inversion, elle est invariante.
Si la droite ne passe pas par $O$, son image est un cercle passant par $O$.
Tu as une courbe $C$ qui passe par le point $M$ et y admet une tangente $T$.
La courbe inverse $C'$ passe bien évidemment par $M'$, mais l'inverse de $T$ n'est généralement pas une droite. La tangente $T'$ à $C'$ en $M'$ doit être l'image de $T$ par une application à déterminer :
La tangente est une notion différentielle sur le contact de deux courbes.
Les applications affines transforment les droites en droites.
Essaie de comprendre la situation.

Pour le c)
Soit $C$ un cercle de centre $\Omega$, compare le centre du cercle inverse $C'$, et l'inverse de $\Omega$ : ce n'est pas le même point. Une inversion ne transforme pas un cercle et son centre en un autre cercle et son centre.
Tu peux donc te débrouiller pour que deux cercles de centres distincts aient des images concentriques, il suffit de bien choisir le pôle et le rapport de l'inversion.

Mettons les choses à plat :
ton inversion, que je note $f$, agit sur les points, donc sur les courbes, en tant qu'ensembles de points. On peut parler de l'inverse d'un cercle, d'une droite, d'une hyperbole...
Quand tu cherches à déterminer la tangente, tu passes à un autre niveau. La tangente à une courbe $C$ est définie par un point, $M$, et un vecteur directeur, $u$, qui est une propriété différentielle de $C$. Pour déterminer la tangente à $f(C)$ en $f(M)$, il nous faut déterminer un vecteur tangent $v$.
Comment passer de $u$ à $v$. On passe de $C$ à $f(C)$ par $f$, de $C$ à $u$ par calcul différentiel, de $f(C)$ à $v$ par calcul différentiel.
Heuristiquement, il est évident que le lien entre $u$ et $v$ va être différentiel, et linéaire (la tangence est une propriété de contact au premier ordre), le seul candidat possible est la différentielle de $f$ en $M$, dont la matrice dans la base canonique est la jacobienne.
Cette différentielle, en tant qu'application linéaire, transforme les droites en droites, c'est ça qui est fondamental pour tes tangentes.

Bonjour,

J'ai retrouvé le pb sur le porisme de Steiner : en fait, c'est le concours: Institut National des Télécommunications 1987 (provenance : un stagiaire étudiant dans l'usine où je me trouvais).
Il existe 17 questions qui s'enchaînent pour obtenir finalement:

Soient deux cercles c et C non concentriques, c est strictement intérieur à C. Soit a la disance de leurs centres. Alors la chaîne $(C_n)_{n\geq 1}$ se referme avec $C_1=C_{N+1}$ si st si:
$\exists p \in \N$*,$4 r R. tan^2(p\pi/N) =(R-r)^2 - a^2$

Je ne possède qu'une photocopie du sujet; et il y a deux ou trois questions que je n'ai su traiter.

RSA:Je ne suis malheureusement pas équipé pour joindre cet énoncé , sinon,...
Par contre, certainement que mon épouse pourrait l'envoyer par fax , à l'un d'entre vous, qui pourra ensuite le mettre en pièce jointe.
Si c'est possible , envoyer votre numéro de fax sur ma messagerie.
J'aimerais là aussi venir à bout des questions récalcitrantes.
J'attends.

bonjour egoroff,

La première fois , c'était par ma prof en terminale Math-Elem, en 1964, au Lycée de Douai, lors du cours sur l'inversion, mais sans démonstration.

La deuxième fois , dans "Joyaux Mathématiques" de R.Honsberger, vers 1981, toujours sans preuve, mais où est décrit aussi l'hexlet de Soddy, problème analogue dans l'espace avec des sphères.

La troisième fois ,en 1987 , dans la raffinerie où je travaillais; systématiquement, je demandais chaque été ,aux jeunes étudiants -stagiaires de m'apporter leurs sujets de concours Grandes Ecoles , et parfois aussi leurs cours de maths.Bien sûr, c'était pour essayer de résoudre ces énoncés.C'est ainsi que je me suis procuré cet énoncé de l'INT.

La quatrième fois , en 2006, sur ce forum ; je me suis souvenu du jeune stagiaire ; puis, voyant que la mayonnaise prenait sur ce topic, j'ai retrouvé l'énoncé avec mes feuilles de résolution; remarque: à aucun moment dans l'énoncé ,le nom de Steiner n'est prononcé dans l'énoncé.

Voilà les quatre étapes au cours desquelles j'ai rencontré le porisme de Steiner.

Dans la relation que j'ai indiquée précédemment, p représente le nombre de tours qu'il faut effectuer pour que la chaîne se referme.

Tu sais presque tout.

Je vois que le porisme et toi c'est une longue histoire :-) Je vais essayer de trouver ce bouquin de Honsberger, ça a l'air très bien (si je ne m'abuse ce n'est pas la première fois que tu le mentionnes sur le forum).

En tous cas je comprends mieux pourquoi tu es encore si frais mathématiquement après plusieurs années sans pratique, c'est parce que tu t'entraînais tous les ans avec les sujets de concours. Ca commence à dévier sérieusement du sujet initial mais as-tu remarqué une certaine évolution dans l'esprit et/ou la difficulté de ces sujets au fil des années ?

PS : je n'ai pas encore eu le temps de regarder en détail tes explications sur le dénombrement des couples d'entiers premiers entre eux mais je vais m'y atteler, promis.

Merci bs pour l'éditeur, je vais me mettre en quête.

Ce n'est pas par une homographie que c'est possible pour deux bonnes raisons
1° Cela fait un bail que le plan projectif et ses homographies ont définitivement et à tout jamais disparu de nos programmes.
2° Et même si ce n'était pas le cas, une homographie n'a aucune raison de conserver les cercles.
Transformer deux cercles disjoints en deux cercles concentriques est une question qu'on peut se poser en géométrie circulaire. On l'aurait deviné sinon pourquoi traiter cette géométrie de circulaire.
Deux cercles disjoints engendrent un faisceau de cercles tous aussi disjoints les uns que les autres parmi lesquels deux d'entre eux ont le bon gout d'être réduits à leur plus simple expression puisqu'ils sont de rayon nul.
Ce sont les points limites ou les points de Poncelet de ce faisceau.
Une inversion de pôle l'un de ces points limites transformera le faisceau de cercles disjoints en faisceau de cercles concentriques.
Amicalement
Pappus

J'aurais dû y penser!
La seule chose qui reste des homographies, c'est leur définition:$ f(z) = \dfrac{az+b}{cz+d}\mid ad-bc \ne 0$
Après cela vogue la galère!
Je serais effectivement très curieux de lire une solution détaillée du porisme de Steiner au milieu d'un déluge de nombres complexes.
En tout cas, on peut trouver des rédactions anciennes du porisme dans les exercices de géométrie moderne de Papelier ou bien dans les livres de Deltheil-Caire.
Amicalement
Pappus

Mon cher Meu
C'est bizarre. En définitive tu montres bien l'existence d'une homographie qui fait le boulot mais c'est un peu comme si tu me montrais l'existence du point fixe d'une application contractante.
Ton procédé ne me parait pas très constructif.
Comment ensuite appliquer cela au porisme de Poncelet pour écrire ses relations de fermeture?
On peut transformer directement deux cercles disjoints en deux cercles concentriques au moyen d'une seule inversion facile à décrire. C'est quand même plus simple!
Il me semble plus adéquat de faire rentrer les deux cercles de départ dans le faisceau qu'ils engendrent puis de transformer simultanément ce faisceau avec son faisceau conjugué, le premier en cercles concentriques et le second en droites concourantes.
Amicalement
Pappus

Comme les inversions ne sont plus au programme du lycée depuis belle lurette, la plupart des agrégatifs ont peur de s'en servir.

Je termine ma démonstration esquissée plus haut. Soit $C'$ un cercle de diamètre $[a,b]$ intérieur au cercle unité (avec $a,b$ réels). Notons $h_w(z)=\dfrac{z-w}{1-\bar{w}z}$ et $f(w)=\frac{1}{2}(h_w(a)+h_w(b))$. Alors pour tout $w$ réel compris entre -1 et 1, $h_w(C')$ est un cercle de diamètre $[h_w(a),h_w(b)]$, donc de centre $f(w)$. Comme $f(1)=-1$ et $f(-1)=1$, d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe $w\in ]-1,1[$ tel que $f(w)=0$. Pour cette valeur de $w$, on a $h_w(C)=C$ et $h_w(C')$ a le même centre que $C$.

Bonjour, bonjour,

D'abord merci pour vos réponses.

@ Pappus : ma question était de montrer qu'un homographie faisait le boulot. Et ce pour l'appliquer au porisme de Steiner.

@meu et JLC : je vous remercie pour votre éclairage, et veuillez m'excuser de la déformation professionnelle... auriez vous des références? (bien que ce que vous dites me semble claire mais bon, le jour de l'oral... plus rien ne peut sembler clair!)

JLC, si j'ai bien compris, il faut choisir correctement $\omega$ pour que l'image du petit cercle soit un cercle de centre 0 et que tout cercle tracé dans le cercle unité est pour image un cercle.

Il faut donc choisir $\omega$ dans le disque unité ouvert de sorte que le pôle de l'homographie, $\frac{1}{\bar{\omega}}$, soit de module strictement plus grand que 1.

Reste à choisir $\omega$ dans le disque unité ouvert pour que l'image du petit cercle soit un cercle de centre 0.

Si le petit cercle est dans le disque unité ouvert son image est bien un cercle. Sinon il faut choisir $\omega$ de sorte que $\frac{1}{\bar{\omega}}$ ne soit pas sur le petit cercle.

Il faut de plus que l'image du petit cercle soit un cercle de centre 0... je bloque....

@meu : comment sait-on que D' et h(D) se coupent?

Faut-il supposer qu'un cercle est strictement dans l'autre ou deux cercles disjoints suffit?

Mais, Pappus, je crois que tu n'auras pas l'occasion d'être au jury de l'agrégation (heureusement pour les agrégatifs ?

Quoi que tu en dises, les homographies de la droite projective complexe (qui ne sont d'ailleurs rien d'autre que ce que tu appelles les transformations circulaires directes) fournissent une approche très agréable.

J'ai complètement cafouillé mon explication hier soir. En plus d'être embrouillée, elle n'est même pas correcte.

Je fixe le cadre : on a établi un certain nombre de résultats sur les homographies de la droite complexes :
- préservation du birapport, d'où l'on déduit qu'une homographie transforme un cercle-ou-droite en un cercle-ou-droite.
- une homographie est conforme (préservation des angles), comme toute bonne fonction holomorphe.

L'objectif est alors, sur la base de ces seuls résultats, d'établir le porisme de Steiner. La construction d'un chapelet de cercles bitangents aux cercles donnés, chacun tangent en outre au suivant, est préservée par une homographie. Le porisme de Steiner est clair pour deux cercles concentriques. Il suffit donc de montrer que deux cercles disjoints C et C' peuvent être transformés en cercles concentriques par une homographie.
On va montrer qu'on peut trouver deux cercles-ou-droites D et D' orthogonaux entre eux et chacun orthogonal à C et C' (le faisceau de cercles orthogonaux à C et C' n'est pas loin, mais j'évite absolument de parler de faisceaux de cercles).
D'abord, quitte à envoyer par une homographie un point de C à l'infini, on peut supposer que C est une droite. On prend alors pour D la perpendiculaire à C passant par le centre de C'. Elle coupe C en O. On prend ensuite pour D' le cercle de centre O et orthogonal à C' (si on veut, ça se construit facilement à la règle et au compas).

Maintenant on envoie à l'infini par une homographie le point I qui est un des points d'intersection de D et D'. On a gagné le gros lot.

La préservation du birapport permet de discuter les cas ou le chapelet de cercles bitangents se referme. Je n'ai pas le temps de détailler pour le moment, mais la CNS est que l'arccosinus de 1-2[A,B,A',B'] soit commensurable avec Pi, où A,B (A',B') sont les intersections de C (C') avec une droite passant par les centres de C et C', étiquetés de telle façon qu'on puisse parcourir cycliquement cette droite dans l'ordre ABB'A'.

@JLT : j'aimerais que tu développes ta suggestion. Comment fais-tu ?

Merci à meu et JLT pour vos solutions je vais les étudier,

Je vous prie de m'excuser d'en revenir à ces considérations pragmatiques mais avez vous des références pour cela?

Car un diamètre est la seule corde orthogonal à un cercle.

Juste une petit sondage sur un échantillon représentatif de une personne : bdvs, que pense-tu des points de Poncelet du faisceau de cercles engendré par C et C' ?

"Point final, c'est tellement rapide que toute autre solution me parait emberlificotée."

Pappus, tu es un peu énervant. As-tu des oeillères au point de ne pas voir que l'argument (ultra-simple, à mon avis) que j'ai donné ne fait que trouver ces fameux points de Poncelet et deux éléments othogonaux entre eux du faisceau de cercles orthogonaux à C et C' ? Et ceci, sans rien faire intervenir de la théorie des faisceaux de cercles, uniquement en utilisant les propriétés de base des homographies.