Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
273 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Inversion, porisme de Steiner

Envoyé par RSA 
RSA
Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
Bonjour tout le monde ,
exercice trouvé dans un vieux livre de 'math.élém' (cela me rajeunit !) de Chenevier P. , au chapitre sur l'inversion :
Transformer 2 cercles concentriques en 2 cercles égaux .
Géométrie pure , bien sûr .
Merci .
Re: Construction Inversion
il y a treize années
<latex> Bonsoir RSA

Sachant qu'une inversion de centre $I$ et de rapport $k$ transforme un cercle $\mathcal{C}$ de rayon $R$ ne passant par $I$ en un cercle $\mathcal{C}'$ de rayon $R'$ donné par :$$R'=R\left| \dfrac{k}{\mathcal{P}_{\mathcal{C}}(I)} \right|$$ Où $\mathcal{P}_{\mathcal{C}}(I)$ est la puissance de $I$ dans le cercle $\mathcal{C}$ (Cela se redémontre en quelques lignes, je viens de le faire)
Soit alors $O$ le centre commun à deux cercles $\mathcal{C}_1, \ \mathcal{C}_2$ concentriques, $\mathcal{P}_{\mathcal{C}_1}(I) = IO^2-R_1^2$ et pareillement $\mathcal{P}_{\mathcal{C}_2}(I) = IO^2-R_2^2$
Les transformés par l'inversion de ces cercles sont des cercles $\mathcal{C}'_1 ,\ \mathcal{C}'_2$.
Dire qu'ils sont égaux, c'est dire qu'ils ont le même rayon, et donc le centre d'inversion est interne à l'un des cercles (par exemple $\mathcal{C}_2$ qui a donc une puissance négative) et externe à l'autre, c'est à dire : $$R'_1=\dfrac{|k|R_1}{IO^2-R_1^2} = R'_2 = \dfrac{|k|R_2}{R_2^2 - IO^2} $$ D'où on tire $$IO^2= R_1R_2$$ Le centre de l'inversion est situé sur le cercle concentrique de centre O et de rayon $\sqrt{R_1R_2}$.
Le rapport d'inversion étant quelconque, il ne détermine que la taille des cercles transformés égaux.

Bon ce n'est pas de la géométrie pure, mais ...
Alain
Re: Construction Inversion
il y a treize années
Re-bonsoir pour la figure :
En bleu les cercles concentriques C1 et C2
En rouge le cercle d'inversion
En vert les transformés C'1 et C'2, cercles égaux
RSA
Re: Construction Inversion
il y a treize années
Merci Alain , c'est clair ,
de plus le cercle (O,Rac(R1.R2)) est le lieu des centres d'inversion qui conduisent à une telle transformation .
Quel logiciel de dessin utilises-tu ?
Cordialement , Roland .
Re: Construction Inversion
il y a treize années
Bonjour RSA

J'utilise ce logiciel libre et gratuit :
Declic [emmanuel.ostenne.free.fr] (suivre : Declic puis téléchargement)
qui permet aussi d'animer les figures géométriques.

Alain
RSA
Re: Construction Inversion
il y a treize années
Merci Alain ,et à bientôt .
ludo'
Re: Construction Inversion
il y a treize années
bonjour, pour information ce résultat est crucial dans la demo du "porisme de Steiner"....
RSA
Re: Construction Inversion
il y a treize années
Merci Ludo
Je ne trouve sur Google que des articles en anglais ou, le plus complet, en espagnol, sur le "porisme de Steiner " .
Cela semble très intéressant, mais y a-t-il un texte en français sur le sujet ?
Merci .
bs
Re: Construction Inversion
il y a treize années
Il est vrai que l'alternative (ou porisme ) de Steiner est l'une des plus jolies applications de l'inversion.Un problème de concours d'entrée à Supaéro , il y a une quizaine d'années, en était le sujet.
Dans Google, il y a pollution pour s'y retrouver car un Steiner a créé une école alternative (sic) .
ailpe
Re: Construction Inversion
il y a treize années
Bonjour,

J'ai justement un problème à traiter concernant l'inversion, dont la conclusion est l'alternative de Steiner : il comporte quatre questions que je vous livre car je suis totalement sec :

a) Dans le cas d'une inversion et quand l'image d'un cercle est un cercle, préciser ce qu'est l'image de son intérieur et celle de son extérieur.

b) Montrer que les images par une inversion de deux courbes tangentes en un point M (différent de O) sont deux courbes tangentes en un point M' également différent de O.

Pour celle ci, j'aurais une idée plus analytique que géométrique : prouver que l'inversion est holomorphe et que sa dérivée ne s'annule pas donc elle serait conforme... est-ce posssible ?

c) On considère deux cercles dont un est strictement intérieur à l'autre, montrer qu'il existe une inversion telle que les images de ce deux cercles sont concentriques

d) Montrer l'alternative de Steiner

Pourriez vous me donner un coup de main pour les trois premières questions svp ?
Merci
ailpe
Re: Construction Inversion
il y a treize années
Je fais remonter le post...

J'ai besoin d'un avis de la part de l'un des modérateurs : je continue sur ce fil ou j'en crée un autre ?...
Merci d'avance


[Continue sur celui-ci, ainsi lors d'une Recherche sur le forum, tout sera groupé. AD]
ailpe
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
oups...j'ai déjà dit une bétise puisque une inversion est de la forme f(z)=k/zbarre, et qui ne saurait donc être holomorphe puisque l'application conjuguée de z ne l'est pas...

j'arrive à montrer que l'image d'un cercle passant par le pôle est bien une droite perpendiculaire au rayon reliant le pôle et le centre du cercle, et un cercle sinon,...mais c'est tout, je sèche sur le a)...

j'imagine que pour le a) celà dépend de la place de O par rapport au cercle...
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
avatar
<latex> D'accord elle n'est pas holomorphe mais elle est antiholomorphe, c'est-à-dire dérivable par rapport à $\bar{z}$ (où encore, $\bar{f}$ est holomorphe). Dans ce cas la différentielle de $f$ en un point $a$ tel que $\bar{f}'(a) \neq 0$ est une similitude indirecte. Donc elle est "anti-conforme".

Je suis inculte et j'en ai honte, mais c'est que le porisme de Steiner ?
ailpe
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
je remonte le post...un coup de main sur les questions a) b) et c) svp...

a) Dans le cas d'une inversion et quand l'image d'un cercle est un cercle, préciser ce qu'est l'image de son intérieur et celle de son extérieur.

b) Montrer que les images par une inversion de deux courbes tangentes en un point M (différent de O) sont deux courbes tangentes en un point M' également différent de O.

c) On considère deux cercles dont un est strictement intérieur à l'autre, montrer qu'il existe une inversion telle que les images de ce deux cercles sont concentriques .

pour la a) j'ai une équation cartésienne de l'image en fonction de R rayon du cercle de départ : est ce que je réponds à la question s'i j'étudie les courbes obtenues en faisant :
*tendre R vers 0 d'une part pour obtenir l'image de l'intérieur du cercle
*tendre r vers + l'infini pour obtenir l'image de l'exterieur du cercle...??

un coup de main serait le bienvenu...
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
avatar
Bon je ne suis pas un pro des inversions mais je me lance.

a) Je pense que l'inversion échange l'intérieur et l'extérieur du cercle si et seulement si le centre de l'inversion est intérieur au cercle.

b) Une inversion est différentiable (preuve analytique comme tu l'as dit). Mais géométriquement je ne saurais même pas définir proprement "deux courbes tangentes" alors je ne peux pas t'aider.

c) Essaie de calquer le raisonnement d'Alain dans le second post de ce sujet ; la situation est un peu différente mais tu dois pouvoir l'adapter.
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
avatar
Pour justifier le a) tu peux dire : <BR>- dans le premier cas (centre à l'intérieur du cercle) que le centre de l'inversion, qui était intérieur au cercle, est envoyé sur le point à l'infini, qui est forcément à l'extérieur de l'image du cercle ; <BR>- dans le second cas (centre à l'extérieur du cercle) que le centre de l'inversion, qui était à l'extérieur du cercle, est envoyé sur le point à l'infini, qui est forcément à l'extérieur de l'image du cercle.<BR>
gb
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
<latex> Pour le b), ton idée allait dans le bon sens en envisageant une fonction holomorphe.
Considère l'inversion de $\R\setminus\{(0,0)\}$ dans lui-même et calcule sa différentielle. Deux variables réelles sont parfois plus pratiques qu'une variable complexe.
Norbert Verdier
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
<!--latex-->Bonsoir à tous
<BR>Pour réponse à une question d'ordre bibliographique de RSA, à signaler les excellents travaux de Jean-Pierre Friedelmeyer sur le sujet des porismes : une version synthétique est ici :
<BR> <a href = "[209.85.129.104]; [] </a>
<BR>
<BR>Cela permet de contextualiser. Bien à vous. NV
ailpe
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
un grand merci à vous egoroff et gb

egoroff :
*je ne connaissais pas l'antiholomorphie...comme elle est anticonforme, celà veut il dire qu'elle transforme un angle de vecteurs en son opposé ??

*les courbes sont tangentes dès qu'elles ont une tangente commune en un point donné; en ce point elle ont également la même normale; en ce point la normale est perpendiculaire aux deux courbes; par chance (je crois...) que l'image d'une droite par une inversion est encore une droite; ainsi l'image de la normale sera perpendiculaire aux deux images (anti-conformité ), et sera donc la normale des deux images; les courbes ayant un point commun elles seront nécéssairement tangentes; est- ce correct ??

* le porisme de Steiner :
Soient deux cercles C1 et C2 dont l'un est intérieur à l'autre. On consruit une suite de cercles G_n telle que
G_n est tangent à C1 et C2
G_n est tangent extérieurement à G_n+1
G_n+2<>G_n
Alors :
*ou bien il existe p tel que G_p=G_p+1, autrement dit la suite de cercles est périodique de période p
*ou bien G_m<>G_k pour tous m et k

on peut encore le formuler de la manière suivante
selon que Arsin[(a-b)/(a+b)] est rationnel ou non, on a le résultat précédent où a et b sont les rayons des transformés de C1 et C2 par une inversion qui les rend concentriques

gb et egoroff : un dernier point, et je sais que je ne devrais pas...mais comment peut on ne pas être holomorphe (c'est à dire ne pas être C-différentiable) et être R2 différentiable ? c'est difficile pour moi...

autrement dit : l'inversion est une involution, elle est donc facile à inverser; celà étant fait, je forme la matrice jacobienne 2.2 des dérivées partielles par rapport à chacune des variables et après qu'est ce que j'en fais ?? comment puis je tout réunir,...

merci
bs
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
<latex> Bonsoir,

Il me semble que notre ami egoroff n'a pas eu sa réponse au porisme (ou alternative) de Steiner; certainement que tu connais mieux l'alternative de Fredholm.

Soient deux cercles $C$ et $C'$dont l'un est intérieur à l'autre et soit$(C_i)_{i \in \N*}$ une suite de cercles tels que pour tout $i \in \N$*, le cercle $C_i$ soit tangent aux cercles $C,C'$ et soit tangent extérieurement au cercle $C_{i+1}$. Les cercles vérifient une des propriétés suivantes:

1) ou bien , il existe $n \in \N$* tel que $C_{n+1}=C_1$, et ce quel que soit le cercle initial $C_1$. ie :" Toute suite de cercles se referme."

2) ou bien $C_i \neq C_j$ pour tout couple $(i,j)$ d'entiers distincts et ce quel que soit le cercle initial $C_1$. ie :"Aucune suite de cercles ne se referme".

Remarque : c'est par une inversion judicieusement choisie transformant $C,C'$ en deux cercles concentriques que l'on démontre cette propriété.
gb
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
<latex> ailpe> l'image d'une droite par une inversion n'est pas toujours une droite.
Si la droite passe par le pôle $O$ de l'inversion, elle est invariante.
Si la droite ne passe pas par $O$, son image est un cercle passant par $O$.
Tu as une courbe $C$ qui passe par le point $M$ et y admet une tangente $T$.
La courbe inverse $C'$ passe bien évidemment par $M'$, mais l'inverse de $T$ n'est généralement pas une droite. La tangente $T'$ à $C'$ en $M'$ doit être l'image de $T$ par une application à déterminer :
La tangente est une notion différentielle sur le contact de deux courbes.
Les applications affines transforment les droites en droites.
Essaie de comprendre la situation.

Pour le c)
Soit $C$ un cercle de centre $\Omega$, compare le centre du cercle inverse $C'$, et l'inverse de $\Omega$ : ce n'est pas le même point. Une inversion ne transforme pas un cercle et son centre en un autre cercle et son centre.
Tu peux donc te débrouiller pour que deux cercles de centres distincts aient des images concentriques, il suffit de bien choisir le pôle et le rapport de l'inversion.
ailpe
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
gb > merci : jai bien compris pour le c) c'est une situation proche de celle élucidée par Alain dans un post précédent

pour le a) aussi c'est clair avec les indications d'egoroff

mais le b) demeure un mystère...effectivement l'image d'une droite n'est pas toujours une droite et mon raisonnement est faux....mais alors comment faire ?

je n'arrive pas à calculer la différentielle de l'inversion avec deux variables rélles et la matrice jacobienne ne m'évoque rien... tu me dis que la tangente T' est l'image de T par une certaine application affine mais celà ne m'évoqe rien non plus désolé....
gb
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
<latex> Mettons les choses à plat :
ton inversion, que je note $f$, agit sur les points, donc sur les courbes, en tant qu'ensembles de points. On peut parler de l'inverse d'un cercle, d'une droite, d'une hyperbole...
Quand tu cherches à déterminer la tangente, tu passes à un autre niveau. La tangente à une courbe $C$ est définie par un point, $M$, et un vecteur directeur, $u$, qui est une propriété différentielle de $C$. Pour déterminer la tangente à $f(C)$ en $f(M)$, il nous faut déterminer un vecteur tangent $v$.
Comment passer de $u$ à $v$. On passe de $C$ à $f(C)$ par $f$, de $C$ à $u$ par calcul différentiel, de $f(C)$ à $v$ par calcul différentiel.
Heuristiquement, il est évident que le lien entre $u$ et $v$ va être différentiel, et linéaire (la tangence est une propriété de contact au premier ordre), le seul candidat possible est la différentielle de $f$ en $M$, dont la matrice dans la base canonique est la jacobienne.
Cette différentielle, en tant qu'application linéaire, transforme les droites en droites, c'est ça qui est fondamental pour tes tangentes.
RSA
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
Bonjour tout ce beau monde ,
b) ne peut pas tout simplement dire rappeler que l'inverxion conserve (au signe près) les angles angles ?
c) 1) pour des raisons de symétrie le centre I d'une telle inversion ne peut être que sur OO' .
... 2) les inverses de 2 points distincts sont distincts .
... 3) le centre du cercle inverse est l'inverse du pied de la polaire .
moyennement quoi : le problème n'est soluble que si les polaires de I par rapport aux 2 cercles sont confondues ,c'est à dire si I a même puissance par rapport aux 2 cercles ,c.à d. si I est le pied de l'axe radical des 2 cercles .
bs
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
<latex> Bonjour,

J'ai retrouvé le pb sur le porisme de Steiner : en fait, c'est le concours: Institut National des Télécommunications 1987 (provenance : un stagiaire étudiant dans l'usine où je me trouvais).
Il existe 17 questions qui s'enchaînent pour obtenir finalement:

Soient deux cercles c et C non concentriques, c est strictement intérieur à C. Soit a la disance de leurs centres. Alors la chaîne $(C_n)_{n\geq 1}$ se referme avec $C_1=C_{N+1}$ si st si:
$\exists p \in \N$*,$4 r R. tan^2(p\pi/N) =(R-r)^2 - a^2$

Je ne possède qu'une photocopie du sujet; et il y a deux ou trois questions que je n'ai su traiter.
RSA
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
Salut Bs ,
et si tu m'envoyais une copie en pièce jointe ?
Merci Rolands .
bs
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
RSA:Je ne suis malheureusement pas équipé pour joindre cet énoncé , sinon,...
Par contre, certainement que mon épouse pourrait l'envoyer par fax , à l'un d'entre vous, qui pourra ensuite le mettre en pièce jointe.
Si c'est possible , envoyer votre numéro de fax sur ma messagerie.
J'aimerais là aussi venir à bout des questions récalcitrantes.
J'attends.
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
avatar
Salut bs, merci beaucoup pour tes éclaircissements. Je n'en avais jamais entendu parler et pourtant c'est plus visuel que Fredholm ! Où apprend-on ces jolies choses (à part sur le forum) ?
bs
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
bonjour egoroff,

La première fois , c'était par ma prof en terminale Math-Elem, en 1964, au Lycée de Douai, lors du cours sur l'inversion, mais sans démonstration.

La deuxième fois , dans "Joyaux Mathématiques" de R.Honsberger, vers 1981, toujours sans preuve, mais où est décrit aussi l'hexlet de Soddy, problème analogue dans l'espace avec des sphères.

La troisième fois ,en 1987 , dans la raffinerie où je travaillais; systématiquement, je demandais chaque été ,aux jeunes étudiants -stagiaires de m'apporter leurs sujets de concours Grandes Ecoles , et parfois aussi leurs cours de maths.Bien sûr, c'était pour essayer de résoudre ces énoncés.C'est ainsi que je me suis procuré cet énoncé de l'INT.

La quatrième fois , en 2006, sur ce forum ; je me suis souvenu du jeune stagiaire ; puis, voyant que la mayonnaise prenait sur ce topic, j'ai retrouvé l'énoncé avec mes feuilles de résolution; remarque: à aucun moment dans l'énoncé ,le nom de Steiner n'est prononcé dans l'énoncé.

Voilà les quatre étapes au cours desquelles j'ai rencontré le porisme de Steiner.

Dans la relation que j'ai indiquée précédemment, p représente le nombre de tours qu'il faut effectuer pour que la chaîne se referme.

Tu sais presque tout.
RSA
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
merci bs ,
mon fax : 0160116304 .
Rolands .
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
avatar
Je vois que le porisme et toi c'est une longue histoire smiling smiley Je vais essayer de trouver ce bouquin de Honsberger, ça a l'air très bien (si je ne m'abuse ce n'est pas la première fois que tu le mentionnes sur le forum).

En tous cas je comprends mieux pourquoi tu es encore si frais mathématiquement après plusieurs années sans pratique, c'est parce que tu t'entraînais tous les ans avec les sujets de concours. Ca commence à dévier sérieusement du sujet initial mais as-tu remarqué une certaine évolution dans l'esprit et/ou la difficulté de ces sujets au fil des années ?

PS : je n'ai pas encore eu le temps de regarder en détail tes explications sur le dénombrement des couples d'entiers premiers entre eux mais je vais m'y atteler, promis.
bs
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
RSA :merci, super; demain matin.
egoroff : je n'ai pas le recul nécessaire pour répondre sur l'évolution des sujets.
Il est vrai que ce n'est pas la première fois que je cite les livres de Honsberger (il y a deux volumes , chez CEDIC); on y croise : Erdos,Dirac,Tutte,Lovasz,Pouletr,Posa,Schinzel,... et beaucoup d'autres qui me sont inconnus.
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a treize années
avatar
Merci bs pour l'éditeur, je vais me mettre en quête.
bdvs
Re: Construction Inversion
il y a huit années
Bonjour,

J'ai vu sur internet dans des plans de leçons d'agrégation, le porisme de Steiner en application de l'étude du groupe des homographies.

Du coup j'ai cherché (par moi même et des références) permettant d'envoyer deux cercles concentriques sur deux cercles disjoints par une homographie... mais sans résultat.

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer?
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a huit années
Ce n'est pas par une homographie que c'est possible pour deux bonnes raisons
1° Cela fait un bail que le plan projectif et ses homographies ont définitivement et à tout jamais disparu de nos programmes.
2° Et même si ce n'était pas le cas, une homographie n'a aucune raison de conserver les cercles.
Transformer deux cercles disjoints en deux cercles concentriques est une question qu'on peut se poser en géométrie circulaire. On l'aurait deviné sinon pourquoi traiter cette géométrie de circulaire.
Deux cercles disjoints engendrent un faisceau de cercles tous aussi disjoints les uns que les autres parmi lesquels deux d'entre eux ont le bon gout d'être réduits à leur plus simple expression puisqu'ils sont de rayon nul.
Ce sont les points limites ou les points de Poncelet de ce faisceau.
Une inversion de pôle l'un de ces points limites transformera le faisceau de cercles disjoints en faisceau de cercles concentriques.
Amicalement
Pappus
JLT
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a huit années
avatar
bdvs parle d'homographies de la droite projective complexe.

Petite indication : on se ramène au cas où le grand cercle est le cercle unité, et où le petit cercle a son centre sur l'axe des abscisses.

Les homographies $\dfrac{z-w}{1-\bar{w}z}$ conservent le cercle unité.
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a huit années
J'aurais dû y penser!
La seule chose qui reste des homographies, c'est leur définition:$ f(z) = \dfrac{az+b}{cz+d}\mid ad-bc \ne 0$
Après cela vogue la galère!
Je serais effectivement très curieux de lire une solution détaillée du porisme de Steiner au milieu d'un déluge de nombres complexes.
En tout cas, on peut trouver des rédactions anciennes du porisme dans les exercices de géométrie moderne de Papelier ou bien dans les livres de Deltheil-Caire.
Amicalement
Pappus
meu
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a huit années
Bonsoir,

C'est effectivement quelque chose qu'on peut très bien mettre dans la leçon "Applications des nombres complexes à la géométrie". Ca peut même se traiter sans calcul, quand on sait :
- qu'une homographie préserve la famille des cercles et droites,
- qu'une homographie préserve les angles.
On part de deux cercles disjoints C et C'. S'ils sont concentriques c'est terminé. Sinon, on trace la droite des centres D, orthogonale à C et C'. On envoie à l'infini, par une homographie h, un point qui n'est ni sur C ni sur C' ni sur D. Alors h(D) devient un cercle orthogonal aux cercles h(C) et h(C'). On trace la droite D' des centres de h(C) et h(C'), elle est orthogonale à h(C) et h(C'). On envoie à l'infini un point d'intersection de D' et h(D) par une homographie g. Alors g(D') et g(h(D)) sont deux droites orthogonales, toutes les deux orthogonales à g(h(C)) et g(h(C')). Ces deux derniers cercles sont donc concentriques.
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a huit années
Mon cher Meu
C'est bizarre. En définitive tu montres bien l'existence d'une homographie qui fait le boulot mais c'est un peu comme si tu me montrais l'existence du point fixe d'une application contractante.
Ton procédé ne me parait pas très constructif.
Comment ensuite appliquer cela au porisme de Poncelet pour écrire ses relations de fermeture?
On peut transformer directement deux cercles disjoints en deux cercles concentriques au moyen d'une seule inversion facile à décrire. C'est quand même plus simple!
Il me semble plus adéquat de faire rentrer les deux cercles de départ dans le faisceau qu'ils engendrent puis de transformer simultanément ce faisceau avec son faisceau conjugué, le premier en cercles concentriques et le second en droites concourantes.
Amicalement
Pappus
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a huit années
Voici par exemple la figure du porisme de Steiner faite pour $n=7$.

[attachment 19319 PorismeSteiner7.gif]


Si j'avais à interroger un agrégatif, je lui demanderais de réaliser une telle figure de préférence sur ordinateur mais ceci sera-t-il possible un jour, j'en doute beaucoup!
Je lui demanderais la structure du sous-groupe du groupe circulaire laissant globalement invariant les cercles $C$ et $C'$.(stabilisateur!). Pourquoi ce stabilisateur opère sur la chaine des 7 cercles tangents et enfin pourquoi les points de contact se trouvent sur le cercle rouge appartenant au faisceau de cercles engendré par $C$ et $C'$.
Je trouve cela plus excitant que de composer des homographies!
Amicalement
Pappus
JLT
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a huit années
avatar
Comme les inversions ne sont plus au programme du lycée depuis belle lurette, la plupart des agrégatifs ont peur de s'en servir.

Je termine ma démonstration esquissée plus haut. Soit $C'$ un cercle de diamètre $[a,b]$ intérieur au cercle unité (avec $a,b$ réels). Notons $h_w(z)=\dfrac{z-w}{1-\bar{w}z}$ et $f(w)=\frac{1}{2}(h_w(a)+h_w(b))$. Alors pour tout $w$ réel compris entre -1 et 1, $h_w(C')$ est un cercle de diamètre $[h_w(a),h_w(b)]$, donc de centre $f(w)$. Comme $f(1)=-1$ et $f(-1)=1$, d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe $w\in ]-1,1[$ tel que $f(w)=0$. Pour cette valeur de $w$, on a $h_w(C)=C$ et $h_w(C')$ a le même centre que $C$.
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a huit années
Mon cher JLT
Je ne comprends pas.
Nos agrégatifs sont censés être formés pour devenir des virtuoses de la théorie des groupes et en particulier de leurs systèmes de générateurs et ils auraient peur de se servir des inversions qui par définition engendrent le groupe circulaire!
En plus les inversions interviennent dans d'autres domaines, en Analyse par exemple.
Cela me semble un peu scandaleux qu'un agrégatif ne connaisse pas cette bestiole sous toutes les coutures!
Amicalement
Pappus
bdvs
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a huit années
Bonjour, bonjour,

D'abord merci pour vos réponses.

@ Pappus : ma question était de montrer qu'un homographie faisait le boulot. Et ce pour l'appliquer au porisme de Steiner.

@meu et JLC : je vous remercie pour votre éclairage, et veuillez m'excuser de la déformation professionnelle... auriez vous des références? (bien que ce que vous dites me semble claire mais bon, le jour de l'oral... plus rien ne peut sembler clair!)

JLC, si j'ai bien compris, il faut choisir correctement $\omega$ pour que l'image du petit cercle soit un cercle de centre 0 et que tout cercle tracé dans le cercle unité est pour image un cercle.

Il faut donc choisir $\omega$ dans le disque unité ouvert de sorte que le pôle de l'homographie, $\frac{1}{\bar{\omega}}$, soit de module strictement plus grand que 1.

Reste à choisir $\omega$ dans le disque unité ouvert pour que l'image du petit cercle soit un cercle de centre 0.

Si le petit cercle est dans le disque unité ouvert son image est bien un cercle. Sinon il faut choisir $\omega$ de sorte que $\frac{1}{\bar{\omega}}$ ne soit pas sur le petit cercle.

Il faut de plus que l'image du petit cercle soit un cercle de centre 0... je bloque....

@meu : comment sait-on que D' et h(D) se coupent?

Faut-il supposer qu'un cercle est strictement dans l'autre ou deux cercles disjoints suffit?
bdvs
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a huit années
Oups mon message venait avant celui de JLT.
Meu
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a huit années
Mais, Pappus, je crois que tu n'auras pas l'occasion d'être au jury de l'agrégation (heureusement pour les agrégatifs ? ;)

Quoi que tu en dises, les homographies de la droite projective complexe (qui ne sont d'ailleurs rien d'autre que ce que tu appelles les transformations circulaires directes) fournissent une approche très agréable.

J'ai complètement cafouillé mon explication hier soir. En plus d'être embrouillée, elle n'est même pas correcte.

Je fixe le cadre : on a établi un certain nombre de résultats sur les homographies de la droite complexes :
- préservation du birapport, d'où l'on déduit qu'une homographie transforme un cercle-ou-droite en un cercle-ou-droite.
- une homographie est conforme (préservation des angles), comme toute bonne fonction holomorphe.

L'objectif est alors, sur la base de ces seuls résultats, d'établir le porisme de Steiner. La construction d'un chapelet de cercles bitangents aux cercles donnés, chacun tangent en outre au suivant, est préservée par une homographie. Le porisme de Steiner est clair pour deux cercles concentriques. Il suffit donc de montrer que deux cercles disjoints C et C' peuvent être transformés en cercles concentriques par une homographie.
On va montrer qu'on peut trouver deux cercles-ou-droites D et D' orthogonaux entre eux et chacun orthogonal à C et C' (le faisceau de cercles orthogonaux à C et C' n'est pas loin, mais j'évite absolument de parler de faisceaux de cercles).
D'abord, quitte à envoyer par une homographie un point de C à l'infini, on peut supposer que C est une droite. On prend alors pour D la perpendiculaire à C passant par le centre de C'. Elle coupe C en O. On prend ensuite pour D' le cercle de centre O et orthogonal à C' (si on veut, ça se construit facilement à la règle et au compas).

[attachment 19322 Steiner.png]


Maintenant on envoie à l'infini par une homographie le point I qui est un des points d'intersection de D et D'. On a gagné le gros lot.

[attachment 19323 Steiner2.png]


La préservation du birapport permet de discuter les cas ou le chapelet de cercles bitangents se referme. Je n'ai pas le temps de détailler pour le moment, mais la CNS est que l'arccosinus de 1-2[A,B,A',B'] soit commensurable avec Pi, où A,B (A',B') sont les intersections de C (C') avec une droite passant par les centres de C et C', étiquetés de telle façon qu'on puisse parcourir cycliquement cette droite dans l'ordre ABB'A'.

@JLT : j'aimerais que tu développes ta suggestion. Comment fais-tu ?


Meu
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a huit années
@JLT ; vu.
bdvs
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a huit années
Merci à meu et JLT pour vos solutions je vais les étudier,

Je vous prie de m'excuser d'en revenir à ces considérations pragmatiques mais avez vous des références pour cela?
bdvs
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a huit années
@ JLT $h_w(C')$ est un cercle de diamètre $[h_w(a),h_w(b)]$ aurais-tu l'amabilité de détailler cette information... merci...(je rame...)
bdvs
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a huit années
Car un diamètre est la seule corde orthogonal à un cercle.
Re: Inversion, porisme de Steiner
il y a huit années
Explique moi, Meu, pourquoi, tu veux éviter de parler de faisceaux de cercles.
Ce n'est plus au programme de l'agreg? C'est sans doute cela!!
Après la suppression des faisceaux, on supprimera aussi les cercles, pourquoi se gêner!
Une fois qu'on a les points de Poncelet $I$ et $J$ du faisceau $(C, C')$, toute homographie envoyant $I$ ou $J$ à l'infini fait le boulot.
Point final, c'est tellement rapide que toute autre solution me parait emberlificotée.
En plus, je crois que le but principal de la transformation de deux cercles en deux cercles concentriques ou en deux droites concourantes ou parallèles n'est pas le porisme de Steiner mais bien la détermination du stabilisateur de deux cercles.
Amicalement
Pappus
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 137 277, Messages: 1 328 668, Utilisateurs: 24 383.
Notre dernier utilisateur inscrit Time.


Ce forum
Discussions: 8 082, Messages: 92 527.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page