Trois points alignés
Bonjour à tous .
Un petit problème que l'on m'a proposé sans solution . On considère deux droites $(D)$ et $(D')$ dans un plan , $A , B , C$ trois points de $(D)$ et $A' , B' , C'$ trois points de $(D')$ . Montrer que les points d'intersection $(AB')\cap(A'B)$ , $(AC')\cap(A'C) et $(BC')\cap(B'C) sont alignés .
Ce problème a été donné lors d'un stage sur les nouveaux programmes de 5ème mais je pense que l'on peut utiliser des outils de niveau 3ème ou seconde . Personnellement j'avais d'abord pensé à des homothéties de centres les trois points d'intersection mais je n'ai pas réussi à aboutir .
Si quelqu'un a une idée ! Merci d'avance .
Domi
Un petit problème que l'on m'a proposé sans solution . On considère deux droites $(D)$ et $(D')$ dans un plan , $A , B , C$ trois points de $(D)$ et $A' , B' , C'$ trois points de $(D')$ . Montrer que les points d'intersection $(AB')\cap(A'B)$ , $(AC')\cap(A'C) et $(BC')\cap(B'C) sont alignés .
Ce problème a été donné lors d'un stage sur les nouveaux programmes de 5ème mais je pense que l'on peut utiliser des outils de niveau 3ème ou seconde . Personnellement j'avais d'abord pensé à des homothéties de centres les trois points d'intersection mais je n'ai pas réussi à aboutir .
Si quelqu'un a une idée ! Merci d'avance .
Domi
Réponses
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Une petite erreur s'est glissée dans mon code Latex , il s'agit des points d'intersections de $(AB')\cap(A'B)$ , $(AC')\cap(A'C)$ et $(BC')\cap(B'C)$ qui sont alignés .
Domi -
Tant qu'à faire une petite illustration :
Domi -
L'illustration et je vais me coucher ( 3 messages pour rien dire ... )
Domi -
C'est le bon vieux théorème de Pappus.
La version affine est un avatar de propriétés projectives.
Je ne vois pas de démonstration simple avec des moyens de collège -
Je m'inscris pour avoir des nouvelles de ce fil.
mireille -
Je me souviens d'un sujet similaire où l'idée était de faire intervenir une droite (D") non coplanaire avec (D) et (D') mais coplanaire avec chacune d'entre elles , je ne sais pas si une idée du même style peut marcher ici . Je ne pourrai pas me connecter aujourd'hui mais à bientôt .
Domi
P.S : Merci à la personne qui a remis de l'ordre dans mon message initial . -
Bonjour Domi.
Est-ce que tu ranges le théorème de Ménélaüs dans outils de seconde ?
Bruno
. -
Bonjour,
Comme le suggère Bruno, Pappus peut se démontrer avec Menelaus, qui, lui, se démontre facilement par composée d'homothéties.
Une bonne référence pour tous ces pbs sous ses différents aspects (affine, projectif..) est le bouquin de Fresnel (maintes fois cité, scuzi)
méthodes modernes en géométrie chez Hermann.
Oump. -
ou "Exercices de géométrie moderne", T.II "Transversales" ; Papelier 1926 :-))
Bruno -
Je ne pense pas que l'on puisse considérer la composition des homothéties dans les outils de collège, même avec les nouveaux programmes de 5ème..
-
Oui Bruno !
J'ai hésité à citer ces fameux Aubert-Papelier, qui ne sont plus disponibles que chez Gabay , je crois, à un prix exorbitant..
(il y avait aussi un succulent "exercices de trigo" ! à couverture rose..)
oump. -
pour suivre le topic sur mon mail.
-
Je possède des éditions des années 50 de chez Vuibert.
Résumons, je suis d'accord sur l'inadéquation de la composition des homothéties de centres distincts. Il ne reste donc plus qu'à établir le théorème de Ménélaüs comme application de celui de Thalès (qui en est un cas particulier d'ailleurs) puis d'utiliser ce théorème pour obtenir celui de Pappus.
Bruno -
bonjour domi,
en regardant ta figure cf. 11-26-06 00:55
et compte tenu de niveau évoqué (5ieme )
il est probable que l'énoncé initial a supposé en plus que:
(AB')||(BC') et (A'B)||(B'C).
Sincèrement,
galax -
Bonjour domi,
Suis pas certain que ce que je propose soit niveau 5ème !
Dans le document ci-dessous, la dernière preuve utilise Menelaüs + barycentres.
<http://www.les-mathematiques.net/spip/article.php3?id_article=27>
On y trouve également la généralisation : théorème de Pascal avec les coniques ( droite= conique dégénérée).
Re-merci pour ton aide récente.
[Lien corrigé. AD] -
cher modéradeur, de nouveau désolé : c'est spip et non Spip
merci pour la correction. -
Un grand merci ( un peu tardif ) à vous tous .
Je précises tout de même que je n'ai jamais cru que l'exercice avait une solution au niveau 5ème , j'indiquais simplement le cadre dans lequel il avait été proposé . A la lumière de vos remarques , je pense que l'exercice a dû être utilisé pour montrer l'utilisation d'un logiciel de dessin de type Cabri ou Declic ( je demanderai confirmation demain ) .
J'ai toutefois un vague souvenir d'un exercice à la formulation très proche de celui-ci dont la solution était à la portée d'un élève de seconde d'où la question initiale . Si je le retrouve je vous en fait part .
Merci encore , Domi -
Rebonjour à tous .
J'ai bien eu confirmation sur le but initial de l'exercice : manipulation de logiciels de géométrie , donc la démonstration de la propriété n'était pas un objectif de l'exercice . J'ai aussi retrouvé le problème auquel il m'a fait penser , je vous laisse juge de la ressemblance ou non des deux exercices . En tout cas , ce dernier a une solution simple .
Problème : On se donne six points $A$ et $A'$ , $B$ et $B'$ , $C$ et $C'$ sur trois droites concourrantes d'un même plan . On note $Q$ , $R$ et $S$ les points d'intersections de $(BC)$ et $(B'C')$ , de $(AC)$ et $(A'C')$ et de $(AB)$ et $(A'B')$ . Montrer que $Q$ , $R$ et $S$ sont alignés .
Domi -
Une illustration :
-
Et pour cause que c'est ressemblant : c'est le théorème de Desargues.
On a une jolie démo un peu laborieuse en passant par l'espace. Une autre en usant de Ménélaüs (Papelier, transversales :-) Une trosisième en changeant de droite de l'infini et j'en passe.
Bruno -
Oui Bruno ,
c'est la démo passant par l'espace que j'avais trouvé particulièrement jolie car elle n'utilise absolument pas les outils de la géométrie projective et la rend accessible à un élève de seconde ( doté d'une très bonne vue ) . Pour un initié , les démonstrations utilisant la géométrie projective sont sûrement moins lourdes et moins aléatoires .
Depuis le temps que je me dis que j'allais me mettre à la géométrie projective , il va quand même falloir que je le fasse . J'ai toujours quelques réticences envers cette matière car n'ayant jamais suivi de cours , j'ai dû avaler en urgence et de force des formules indigestes dont je n'avais pas le temps de comprendre le sens . Je m'y mettrais , juré , ne serait-ce que pour répondre à Bruno autre chose que "merci Maître" qui bien que flatteur ne lui donne pas beaucoup de satisfaction et surtout peu matière à réflexion .
Domi -
Bonjour Domi.
Laisse tomber le "oui..." s'il te plaît. Sérieusement, la démonstration par projection d'une figure de l'espace est "thématiquée comme on dit aux échecs ; en plus elle permet de couvrir d'un seul coup tous les cas particuliers dûs au caractère affine du plan. Le seul problème c'est qu'il faut démontrer que la figure est bien la projetée d'une figure de l'espace, c'est à dire qu'il faut construire une figure de l'espace qui se projette selon la figure plane initiale. Ce n'est pas difficile mais c'est long et fastidieux déjà pour des préparationnaires au capes, alors, pour des élèves...
Bien amicalement,
Bruno -
Comme démo élémentaire, il y a toujours la bonne vieille méthode analytique : on paramétrise, on pond 3 pages de calculs, on croise les doigts ... et on sort le résultat. C'est chiant mais c'est systématique, y a a peine besoin de réflechir.
Donc pour Pappus ca donne ca : on fixe les coordonnées des points A,B,C,A' dans le repere formé par les 2 droites, on applique 2 fois Thales pour obtenir B' et C' , on calcule 3 intersections de droites, puis un determinant pour montrer que les 3 points sont alignés.
Conclusion : ca parait faisable niveau seconde avec les questions intermediaires qui vont bien.
(et 2e conclusion : quand on a finit de se prendre la tete sur les calculs on est définitivement convaincu que 'la géométrie projective, c'est cool') -
J'aimerais quand même développer la démonstration par "l'espace" :"Ce n'est pas difficile mais c'est long et fastidieux" ( dixit Bruno ) .
On considère une droite $\Delta$ sécante avec le plan H contenant les points O, A , C .... on projette les points A et A' sur $\Delta$ selon une direction quelconque pour obtenir D et D' . On considère alors R' et S' les points d'intersections de (DC) avec (D'C') et de (DB) avec (D'B') alors ,il est clair que Q , R' et S' sont alignés . En considérant la projection P sur H parallèlement à (AD) on a P(R')=R et P(S')=S donc Q , R et S sont alignés . Je trouve cette démonstrations véritablement étonnante de simplicité car sans calcul et sans artillerie lourde .
Domi
P.S : pour Bruno , je n'ai pas compris le "oui ..." , je dois te dire non ... ?
-
C'est plutôt le "Maître" qui me chagrine, Domi :-)
Bruno -
Bruno ,
J'ironisais bien sûr . Je me sens toujours un peu mal à l'aise quand je ne peux pas répondre d'égal à égal pour cause de lacunes , je ne suis alors qu'un élève qui suit son professeur . Dois-je dans ce cas simplement prendre acte et me taire ?
En tout cas merci ,
Domi -
Tu as raison, Domi, je devrais prendre les choses plus à la légère. Toutes mes excuses. Quant à "prendre acte et se taire", cela ne me paraît pas indiqué.
Bruno
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