exo 4ème qui a l'air facile mais...
Bonjour,
J'aide régulièrement mon petit voisi de 4èmme à faire son devoir et là je reste bloqué sur un problème qui pourtant a l'air facile.
Voilà, soit ABCD un rectangle, et M un point intérieur au rectangle tel que MB=40, MC=45, MA=90.
Le but est de calculer les dimensions du rectangle.
J'ai projeté M sur les cotés du triangle, des Pythagore en veux-tu en voilà et je ne m'en sors pas car j'obtiens des équations du 2nd degré à plusieurs inconnues. Ai-je manqué quelque chose? Est_il possible qu'il manque une donnée?
Merci d'avance
J'aide régulièrement mon petit voisi de 4èmme à faire son devoir et là je reste bloqué sur un problème qui pourtant a l'air facile.
Voilà, soit ABCD un rectangle, et M un point intérieur au rectangle tel que MB=40, MC=45, MA=90.
Le but est de calculer les dimensions du rectangle.
J'ai projeté M sur les cotés du triangle, des Pythagore en veux-tu en voilà et je ne m'en sors pas car j'obtiens des équations du 2nd degré à plusieurs inconnues. Ai-je manqué quelque chose? Est_il possible qu'il manque une donnée?
Merci d'avance
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Réponses
Pense à projeter orthogonalement ton point M sur les différents cotés.
-- Schnoebelen, Philippe
<BR>
<BR>Il me semble que ce pb n'est pas de niveau 4°.
<BR>
<BR>l'idée de projeter m sur les 4 côtés me semble bonne. Elle permet , en tous cas de trouver la quatrième distance MD
<BR>
<BR>le calcul de MD a été ptoposé dans l'un des exos de la compétition interclasses Mathématiques sans frontières (voir lien ci-dessous)
<BR>
<BR>"Dans quatre triangles rectangles différents,
<BR>
<BR>Un théorème célèbre tu utiliseras,
<BR>
<BR>Les quatre égalités obtenues tu additionneras,
<BR>
<BR>Les termes astucieusement tu regrouperas,
<BR>
<BR>La réponse tu trouveras."
<BR>
<BR>En notant a & b les segments définis par les projetés sur la longueur, c & d les sements projetés sur la largeur,
<BR>tu obtiens un système d'équations bien symétrique en a², b², c² et d²
<BR>
<BR>que l'on doit pouvoir résoudre. Je vais m'y atteler.
<BR>
<BR>Je suis prof en Quatrième, et je ne donnerai certainement pas cet exo à mes élèves...
<BR>à moins que quelque chose nous ait échappé!
<BR>
<BR>
<BR>Voici le lien: <a href=" http://archives.ac-strasbourg.fr/microsites/maths_msf/index.htm"> http://archives.ac-strasbourg.fr/microsites/maths_msf/index.htm</a>
<BR>il faut aller dans Epreuves 2006 épreuve d'entraînement décembre 2005 exercice 12
<BR>
<BR>a + jacquot<BR><BR><BR>
les données sont insuffisantes pour conclure..
en notant u la distance de M à BC et v celle de M à BA
on obtient apparemment
BA= u +V(u²+6500) et BC=v+V(v²+475)
avec u²+v²=1600
( dit autrement : on prend M sur un quart de cercle centré en B , de rayon 40 et on obtient A sur Bx tel que MA=90 et C sur By tel que MC=45...)
( si on se donne aussi MD alors on peut conclure , c'est apparemment le pb cité par jacquot)
Oump.
Comme indiqué plus haut, je sais calculer la distance MD
Pour ce calcul, je combine les 3 égalités données.
Mon système en a², b², c² et d² a bien 4 équations, mais la 4ème est une combinaison des trois autres... alors je ne sais pas résoudre.
Chère huile, voudrais-tu bien confirmer l'énoncé de ton Pb?
Nos messages se sont croisés.
mon propos n'était peut-être pas assez clair:
si on se donne MA, MB et MC, on n'a plus le choix pour MD:
la référence que j'indique développait cette idée.
Dans le cas présent, on a MD² = 8125 sauras-tu alors calculer les dimensions du rectangle?
Si tu veux les détails du calcul de MD, je te les fournis sur demande.
Cordialement.
jacquot
si tu as pu calculer MD=d ,alors ,je pense que c'est gagné:
( en travaillant avec des lettres pour généraliser)
en appelant MA=a, MB=b, MC=c,
$h_1,h_2,h_3,h_4$ , les distances respectives de M à AB,BC,CD,DA, :(dessin)
On a le système de 4 équations à 4 inconnues :
$h_1^2+h_4^2=a^2$
$h_1^2+h_2^2=b^2$
$h_2^2+h_3^2=c^2$
$h_3^2+h_4^2=d^2$;
et finalement: $L=h_1+h_3$, $l=h_2+h_4$
terminé; mais comment calculer d ?
Amicalement.
Oumpapah a raison: les données sont insuffisantes: on a le choix pour placer M n'importe où sur le quart de cercle de rayon 40.
Excuse-moi, Oump d'avoir lu ton texte en diagonale. Je l'illustre ici d'un dessin
Alors huile ou son élève ont peut-être mal pris note de la question posée.... même si c'était le calcul de MD, c'est trop difficile pour des Quatrièmes si la question est sèche.
Mais je ne vois pas comment on peut en déduire la longueur et la largeur du rectangle .
Domi
Domi te donne le calcul de MD, corrigeant au passage la faute de frappe que j'avais faite dans un message précédent.
pour moi, Oumpapah a donné la conclusion de ce problème.
jacquot
$0.h_1^2=0$.
Par contre, celui-ci possède une unique solution :
Soit ABC un triangle équilatéral, un point M intérieur est tel que MA=a, MB=b, MC=c; trouver la longueur du côté de ce triangle.
(Ce n'est pas non plus niveau Quatrième )
Bonne journée.
Je m'étais intéressé à cet autre problème en avril, après qu'il a été proposé au Rallye mathématique d'Alsace dans le cas particulier (a,b,c) = (3,4,5)
A défaut d'avoir su calculer le côté du triangle équilatéral, j'en ai trouvé une construction. (voir .pdf ci-joint)
Niveau Première S? Costaud!
J'avais eu cet exercice à résoudre à l'époque où je me présentais aux éliminatoires des championnats de France de jeux mathématiques !
C'était il y a longtemps et en catégorie touriste (amateur).
\lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=336663&t=336228#reply_336663}
$a^4+b^4+c^4+d^4=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2d^2+c^2d^2$
Domi
en fait, le calcul de d (= côté du triangle) se trouve dans le message du 24/11/06 à 10h36, calcul validé par gb au message suivant. ( important, car le livre sur lequel j'ai retrouvé cette question donne une réponse différente).
$$d= \frac{a^2+b^2+c^2}{2} +2 \sqrt{3p(p-a)(p-b)p-c)}$$
p est le demi-périmètre du triangle de côté a,b,c.
Pour Domi, l'égalité que tu as écrit dans le message précédent s'obtient aussi à l'aide de cette relation donnant d.
Bonne soirée.
merci beaucoup.
J'avais repris mon calcul après coup mais je ne l'avais pas posté . On obtient le résultat bien plus rapidement en appliquant directement la formule de Heron aux triangles : AMB , AMC , BMC et ABC .
Domi
Non, je n'ai pas d'énoncé plus étoffé, donc en principe il ne manque rien.
Merci
Une autre remarque aussi, pour ceux qui n'ont pas envie de relire le lien relatif au triangle:
ce d obtenu est aussi (miraculeusement et mathématiquement) la solution au problème de Fermat. Dans un triangle de côtés a,b,c ,le min de (MA+MB+MC) quand M parcourt l'intérieur du triangle est le d précédent; on sait que M est alors le point de Torricelli.
(Notre triangle a tous ses angles inférieurs à 2.pi /3).
Amicalement.
Borde.
mes petits fils viennent de me rendre l'ordi
bien sur , si mon debut de message est correct , sa fin ne l'est pas puisque MD est connu des qu'on a MA,MB et MD
le pb tel quel est indetermine : cf le dessin de jaquot illustrant mon propos
une idee me vient à l'esprit : avec les données initiales on recherche des solutions entieres , à voir..
Oump.
Oump
existe -t il des rectangles ABCD avec un point interieur M tel que les 6 segments MA,MB,MC,MD, AB, AD soient de longieurs enttieres
( bref existe -t il des puzzles composes de 4 pieces "triangles pythagoriciens" permettant de reconstituer un rectangle..)
Oump.
<BR>
<BR>Il y en a:
<BR>
<BR>Voir l'exercice de la compétition interclasses Mathématiques sans Frontières que j'évoquais plus haut:
<BR>
<BR>Voici le lien: <a href=" http://archives.ac-strasbourg.fr/microsites/maths_msf/index.htm"> http://archives.ac-strasbourg.fr/microsites/maths_msf/index.htm</a>il faut aller dans Epreuves 2006 épreuve d'entraînement décembre 2005 exercice 12
<BR>
<BR>
<BR>MA = 25 ; MB = 39 ; MC = 60<BR><BR><BR>
il faut aussi que AB et AD soient des entiers...
[Glup
Ayant construit l'exo, je sais qu'il y a une solution. Elle doit être unique, les triplets pythagoriciens avec 25, 39 ou 60 ne sont pas légion!
1) pour le puzzle en nombres entiers proposé par Oump, à partir de MA=25, MA=39, MD=60 proposé par Jacquot, par exemple:
$20^2+15^2=25^2$
$15^2+36^2=39^2$
$36^2+48^2=60^2$
$48^2+20^2=52^2$
$L=63,l=56$
2) et si , dans l'énoncé initial on remplaçait rectangle par carré : alors, certainement il y a unicité.
En reprenant le système du message du 04/01 à 12h14;
en allégeant:$h_1=x, h_2=y, h_3=z, h_4=w$
$x^2+y^2=b^2$ --> (1)
$y^2+z^2=c^2$ --->(2)
$w^2+x^2=a^2$--->(3)
Ces 3 équations impliquent l'équation 3bis :
$z^2+w^2=a^2+c^2-b^2$---->(3)'
donc , en ajoutant : $x+z=y+w$= côté du carrré ---> (4)
On obtient 4 équations ( non linéaires ) à 4 inconnues ... que je ne parviens pas à résoudre.
Dans (4), je tire w pour porter dans (3), me ramenant à un système de 3 équations à 3 inconnues, mais ce n'est pas niveau Quatrième ensuite.
Amicalement.
Ta bonne connaissance des triplets pythagoriciens t'a permis de trouver assez rapidement
je pense que le problème initial était vraisemblablement le calcul de MD, et non la détermination des dimensions du rectangle... mais que l'exercice a été dicté trop hâtivement ou recopié en vitesse.
Personnellement, même cette version soft me paraît trop difficile pour des élèves de Quatrième si on ne leur propose aucune piste (on notera qu'à MSF c'était un exo "Spécial Secondes"
Cordialement.
pour bs :
le pb consistant à construire un carré connaissant les distances de trois des sommets de ce carré à un même point du plan se trouvant dans le carré, a été magnifiquement résolu par Mireille dans le post intitulé :
"calcul d'angle" mis en ligne le 13/11/06.
Vous pouvez le trouver facilement (désolé je ne sais pas mettre des renvois dans mes post) en mettant : "mireille" dans "auteur" de la rubrique "recherche" de ce forum.
<http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=335394&t=333631>
Pour Alain : "ah oui, ah oui effectivement... heu j'avais pas vu ça... oui... heu... on est un peu dans le merdier là..."
Bonne année Alain et chapeau pour le boulot fait sur le forum !
Emmanuel
[sans LaTeX, tu encadres le lien avec < et > (le lien ne doit pas contenir de #)
avec LaTeX, tu écris \lien{...} (le lien peut contenir des #) AD]
En gros, comment démontrer de manière générale que l'affirmation de bs du haut de cette page est vraie?
\lien {http://serge.mehl.free.fr/anx/pt_fermat.html}
http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/exo4e.php
Faites tourner le point vert (d'une maniere generale, ce qui est vert est déplaçable)
C'est complètement délire man.
[Chez moi, ça marche. Peut-être faut-il que tu autorises Java sur ton navigateur ? AD]