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exo 4ème qui a l'air facile mais...

Envoyé par huile de vidange 
huile de vidange
exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
Bonjour,

J'aide régulièrement mon petit voisi de 4èmme à faire son devoir et là je reste bloqué sur un problème qui pourtant a l'air facile.


Voilà, soit ABCD un rectangle, et M un point intérieur au rectangle tel que MB=40, MC=45, MA=90.

Le but est de calculer les dimensions du rectangle.

J'ai projeté M sur les cotés du triangle, des Pythagore en veux-tu en voilà et je ne m'en sors pas car j'obtiens des équations du 2nd degré à plusieurs inconnues. Ai-je manqué quelque chose? Est_il possible qu'il manque une donnée?

Merci d'avance
denissovitch
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
il y a les sinus et cosinus en 4ème?
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
avatar
Bien sûr.

Pense à projeter orthogonalement ton point M sur les différents cotés.

huile de vidange
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
Oui j'ai pensé à projeter le point M sur les cotés et appliquer une dizaine de fois Pythagore... Je me suis trouvé avec des équations non simples du second degré, je pense qu'un élève de 4ème serait incapable de faire ça alors il doit forcément exister une méthode plus simple.
Re: exo 4e qui a l’air facile mais…
il y a treize années
avatar
Il y a le cosinus, en quatrième.

Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
avatar
Bonjour, <BR> <BR>Il me semble que ce pb n'est pas de niveau 4°. <BR> <BR>l'idée de projeter m sur les 4 côtés me semble bonne. Elle permet , en tous cas de trouver la quatrième distance MD <BR> <BR>le calcul de MD a été ptoposé dans l'un des exos de la compétition interclasses Mathématiques sans frontières (voir lien ci-dessous) <BR> <BR>"Dans quatre triangles rectangles différents, <BR> <BR>Un théorème célèbre tu utiliseras, <BR> <BR>Les quatre égalités obtenues tu additionneras, <BR> <BR>Les termes astucieusement tu regrouperas, <BR> <BR>La réponse tu trouveras." <BR> <BR>En notant a &amp; b les segments définis par les projetés sur la longueur, c &amp; d les sements projetés sur la largeur, <BR>tu obtiens un système d'équations bien symétrique en a², b², c² et d² <BR> <BR>que l'on doit pouvoir résoudre. Je vais m'y atteler. <BR> <BR>Je suis prof en Quatrième, et je ne donnerai certainement pas cet exo à mes élèves... <BR>à moins que quelque chose nous ait échappé! <BR> <BR> <BR>Voici le lien: <a href=" [archives.ac-strasbourg.fr]; [archives.ac-strasbourg.fr]; <BR>il faut aller dans Epreuves 2006 épreuve d'entraînement décembre 2005 exercice 12 <BR> <BR>a + jacquot<BR><BR><BR>
oumpapah
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
Bonjour,

les données sont insuffisantes pour conclure..

en notant u la distance de M à BC et v celle de M à BA
on obtient apparemment
BA= u +V(u²+6500) et BC=v+V(v²+475)
avec u²+v²=1600

( dit autrement : on prend M sur un quart de cercle centré en B , de rayon 40 et on obtient A sur Bx tel que MA=90 et C sur By tel que MC=45...)

( si on se donne aussi MD alors on peut conclure , c'est apparemment le pb cité par jacquot)

Oump.
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
avatar

Bon, ben je ne sais pas faire!

Comme indiqué plus haut, je sais calculer la distance MD
Pour ce calcul, je combine les 3 égalités données.
Mon système en a², b², c² et d² a bien 4 équations, mais la 4ème est une combinaison des trois autres... alors je ne sais pas résoudre.

Chère huile, voudrais-tu bien confirmer l'énoncé de ton Pb?
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
avatar
Bonjour Oumpapah,

Nos messages se sont croisés.
mon propos n'était peut-être pas assez clair:

si on se donne MA, MB et MC, on n'a plus le choix pour MD:

la référence que j'indique développait cette idée.

Dans le cas présent, on a MD² = 8125 sauras-tu alors calculer les dimensions du rectangle?

Si tu veux les détails du calcul de MD, je te les fournis sur demande.
Cordialement.
jacquot
bs
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
<latex> Bonjour vous deux,

si tu as pu calculer MD=d ,alors ,je pense que c'est gagné:
( en travaillant avec des lettres pour généraliser)
en appelant MA=a, MB=b, MC=c,
$h_1,h_2,h_3,h_4$ , les distances respectives de M à AB,BC,CD,DA, :(dessin)
On a le système de 4 équations à 4 inconnues :
$h_1^2+h_4^2=a^2$
$h_1^2+h_2^2=b^2$
$h_2^2+h_3^2=c^2$
$h_3^2+h_4^2=d^2$;
et finalement: $L=h_1+h_3$, $l=h_2+h_4$
terminé; mais comment calculer d ?

Amicalement.
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
avatar

Conclusion

Oumpapah a raison: les données sont insuffisantes: on a le choix pour placer M n'importe où sur le quart de cercle de rayon 40.
Excuse-moi, Oump d'avoir lu ton texte en diagonale. Je l'illustre ici d'un dessin

Alors huile ou son élève ont peut-être mal pris note de la question posée.... même si c'était le calcul de MD, c'est trop difficile pour des Quatrièmes si la question est sèche.
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
avatar
<latex> Le calcul de MD ne pose pas de problème , il suffit d'utiliser Pythagore dans les quatre triangles ayant pour hypoténuses Ma ,MB , MC et MD et en élilinant les côtés de l'angle droit : $MD^2=90^2+45^2-40^2=8525$ .
Mais je ne vois pas comment on peut en déduire la longueur et la largeur du rectangle .

Domi
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
avatar
bs, d'accord avec ton système, mais les 4 équations ne sont pas indépendantes sa solution n'est donc pas unique.

Domi te donne le calcul de MD, corrigeant au passage la faute de frappe que j'avais faite dans un message précédent.

pour moi, Oumpapah a donné la conclusion de ce problème.

jacquot
bs
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
<latex> Effectivement, on obtient un magnifique :
$0.h_1^2=0$.

Par contre, celui-ci possède une unique solution :

Soit ABC un triangle équilatéral, un point M intérieur est tel que MA=a, MB=b, MC=c; trouver la longueur du côté de ce triangle.
(Ce n'est pas non plus niveau Quatrième )

Bonne journée.
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
avatar

Bs,

Je m'étais intéressé à cet autre problème en avril, après qu'il a été proposé au Rallye mathématique d'Alsace dans le cas particulier (a,b,c) = (3,4,5)

A défaut d'avoir su calculer le côté du triangle équilatéral, j'en ai trouvé une construction. (voir .pdf ci-joint)

Niveau Première S? Costaud!
bs
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
jacquot,

J'avais eu cet exercice à résoudre à l'époque où je me présentais aux éliminatoires des championnats de France de jeux mathématiques !
C'était il y a longtemps et en catégorie touriste (amateur).
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
avatar
<latex> Pour ceux qui ne veulent plus chercher , cet exercice a déjà été proposé par bs il y a quelques temps .

\lien{[www.les-mathematiques.net]}

$a^4+b^4+c^4+d^4=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2d^2+c^2d^2$

Domi
bs
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
<latex> merci Domi,

en fait, le calcul de d (= côté du triangle) se trouve dans le message du 24/11/06 à 10h36, calcul validé par gb au message suivant. ( important, car le livre sur lequel j'ai retrouvé cette question donne une réponse différente).

$$d= \frac{a^2+b^2+c^2}{2} +2 \sqrt{3p(p-a)(p-b)p-c)}$$

p est le demi-périmètre du triangle de côté a,b,c.

Pour Domi, l'égalité que tu as écrit dans le message précédent s'obtient aussi à l'aide de cette relation donnant d.

Bonne soirée.
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
avatar
Bonjour bs .

J'avais repris mon calcul après coup mais je ne l'avais pas posté . On obtient le résultat bien plus rapidement en appliquant directement la formule de Heron aux triangles : AMB , AMC , BMC et ABC .

Domi
huile de vidange
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
Merci pour toutes ces réponses, vous me rassurez, moi qui pensais etre passé à coté d'une solution simple.

Non, je n'ai pas d'énoncé plus étoffé, donc en principe il ne manque rien.

Merci
bs
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
Bonsoir,

Une autre remarque aussi, pour ceux qui n'ont pas envie de relire le lien relatif au triangle:

ce d obtenu est aussi (miraculeusement et mathématiquement) la solution au problème de Fermat. Dans un triangle de côtés a,b,c ,le min de (MA+MB+MC) quand M parcourt l'intérieur du triangle est le d précédent; on sait que M est alors le point de Torricelli.
(Notre triangle a tous ses angles inférieurs à 2.pi /3).

Amicalement.
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
<latex> Encore un point particulier, bien que peu important : si $M$ est intérieur au rectangle $ABCD$, alors, en appliquant la formule de la médiane deux fois de suite, on obtient $MA^2 + MC^2 = MB^2 + MD^2$.

Borde.
oumpapah
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
Bonsoir

mes petits fils viennent de me rendre l'ordi

bien sur , si mon debut de message est correct , sa fin ne l'est pas puisque MD est connu des qu'on a MA,MB et MD

le pb tel quel est indetermine : cf le dessin de jaquot illustrant mon propos

une idee me vient à l'esprit : avec les données initiales on recherche des solutions entieres , à voir..

Oump.
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
avatar
J'avais pensé à la dernière idée d'Oumpapah (chercher des côtés entiers), mais n'ai pas creusé la question.

oumpapah
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
laissez tomber..pas de solutions entieres!

Oump
oumpapah
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
par contre il me vient l'idée d'un pb qui devrait plaire à bs , fan de triangles à cotes entiers..

existe -t il des rectangles ABCD avec un point interieur M tel que les 6 segments MA,MB,MC,MD, AB, AD soient de longieurs enttieres

( bref existe -t il des puzzles composes de 4 pieces "triangles pythagoriciens" permettant de reconstituer un rectangle..)

Oump.
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
avatar
Oui, <BR> <BR>Il y en a: <BR> <BR>Voir l'exercice de la compétition interclasses Mathématiques sans Frontières que j'évoquais plus haut: <BR> <BR>Voici le lien: <a href=" [archives.ac-strasbourg.fr]; [archives.ac-strasbourg.fr] faut aller dans Epreuves 2006 épreuve d'entraînement décembre 2005 exercice 12 <BR> <BR> <BR>MA = 25 ; MB = 39 ; MC = 60<BR><BR><BR>
Yersinia Pestis
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
Pour Jacquot :

il faut aussi que AB et AD soient des entiers...

[Glup :)) AD]
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
avatar
Eh bien, à toi (à vous ) de les trouver!

Ayant construit l'exo, je sais qu'il y a une solution. Elle doit être unique, les triplets pythagoriciens avec 25, 39 ou 60 ne sont pas légion!
bs
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
<latex> Bonjour

1) pour le puzzle en nombres entiers proposé par Oump, à partir de MA=25, MA=39, MD=60 proposé par Jacquot, par exemple:
$20^2+15^2=25^2$
$15^2+36^2=39^2$
$36^2+48^2=60^2$
$48^2+20^2=52^2$
$L=63,l=56$

2) et si , dans l'énoncé initial on remplaçait rectangle par carré : alors, certainement il y a unicité.

En reprenant le système du message du 04/01 à 12h14;
en allégeant:$h_1=x, h_2=y, h_3=z, h_4=w$
$x^2+y^2=b^2$ --> (1)
$y^2+z^2=c^2$ --->(2)
$w^2+x^2=a^2$--->(3)
Ces 3 équations impliquent l'équation 3bis :
$z^2+w^2=a^2+c^2-b^2$---->(3)'

donc , en ajoutant : $x+z=y+w$= côté du carrré ---> (4)

On obtient 4 équations ( non linéaires ) à 4 inconnues ... que je ne parviens pas à résoudre.
Dans (4), je tire w pour porter dans (3), me ramenant à un système de 3 équations à 3 inconnues, mais ce n'est pas niveau Quatrième ensuite.

Amicalement.
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
avatar
OK bs,
Ta bonne connaissance des triplets pythagoriciens t'a permis de trouver assez rapidement

je pense que le problème initial était vraisemblablement le calcul de MD, et non la détermination des dimensions du rectangle... mais que l'exercice a été dicté trop hâtivement ou recopié en vitesse.

Personnellement, même cette version soft me paraît trop difficile pour des élèves de Quatrième si on ne leur propose aucune piste (on notera qu'à MSF c'était un exo "Spécial Secondes"

Cordialement.
Yersinia Pestis
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
Bonjour/bonsoir,

pour bs :
le pb consistant à construire un carré connaissant les distances de trois des sommets de ce carré à un même point du plan se trouvant dans le carré, a été magnifiquement résolu par Mireille dans le post intitulé :

"calcul d'angle" mis en ligne le 13/11/06.

Vous pouvez le trouver facilement (désolé je ne sais pas mettre des renvois dans mes post) en mettant : "mireille" dans "auteur" de la rubrique "recherche" de ce forum.
[www.les-mathematiques.net]


Pour Alain : "ah oui, ah oui effectivement... heu j'avais pas vu ça... oui... heu... on est un peu dans le merdier là..." :))))
Bonne année Alain et chapeau pour le boulot fait sur le forum !

Emmanuel


[sans LaTeX, tu encadres le lien avec < et > (le lien ne doit pas contenir de #)
avec LaTeX, tu écris \lien{...} (le lien peut contenir des #) AD]
Yersinia Pestis
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
PS : je ne suis pas amoureux de Mireille !!! :))
SXB
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
Maintenant, autre problème dans ce style: soit ABC un triangle. quelconque du plan, non réduit à un segment quand même. Montrer qu'il existe un unique point M du plan tel que MA+MB+MC soit minimale.

En gros, comment démontrer de manière générale que l'affirmation de bs du haut de cette page est vraie?



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a treize ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par SXB.
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
avatar
Ce problème a été posé (et résolu?) par Fermat: voir le lien vers Chronomath
\lien {[serge.mehl.free.fr]}
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
En voyant le dessin de Jacquot, j'ai pas pu m'empecher de faire un petit geogebra...

[www.logique.jussieu.fr]

Faites tourner le point vert (d'une maniere generale, ce qui est vert est déplaçable)
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
avatar
ça marche pas le dessin sur ta page web. Il y a peut-être eu une interférence avec un monde parallèle.

C'est complètement délire man.

[Chez moi, ça marche. Peut-être faut-il que tu autorises Java sur ton navigateur ? AD]



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a treize ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: exo 4ème qui a l'air facile mais...
il y a treize années
avatar
A priori java est activé sur mon navigateur. Je comprends pas.
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