un système non linéaire intéressant

oumpapah2 · January 2007

Bonjour
Voici le défi du jour ( ce pourrait etre un sujet d'olympiades ?)

Résoudre et discuter le système aux 3 inconnues x,y,z

x²+xy+y²=w²
y²+yz+z²=u²
z²+zx+x²=v²
( je sais faire..)

interprétation géométrique

Pb (je n'ai pas encore creusé..) solutions avec tous les ingrédients entiers

( pour enrichir la collection de bs de triangles remarquables)
bon courage

Oump.

bisam · January 2007

Je suppose que l'on résout dans $\R$.

Commencons par les cas faciles :
Si u, v, et w sont nuls alors x=y=z=0.
Si 2 des 3 sont nuls et pas le 3ème, il n'y a pas de solution.
Si un seul des 3 est nul, disons w, et si les 2 autres ne sont ni égaux ni opposés alors il n'y a pas de solution.
Si un seul des 3 est nul, disons w, et si les 2 autres sont égaux ou opposés, alors x=y=0 et z=u ou z=-u.

Il ne reste plus que le cas où u, v, et w sont non nuls tous les 3.

(Oui, bon, je sais, je ne me suis pas foulé... mais il faut bien un début).

gb0 · January 2007

Interprétation géométrique : intersection de 3 cylindres égaux à base elliptique, dont les axes sont les axes de coordonnées...

oumpapah2 · January 2007

cylindres egaux?

dans mon esprit ce n'est pas cette voie qui m'a donné un fil conducteur.

pour tester vos résultats vous pourrez resoudre le systeme avec

u=3 ; v=5; w=7

et je precise qu'on resoud dans R.

A+

gb0 · January 2007

oumpapah> ma langue a effectivement fourché, les ellipses de bases sont homothétiques, non pas égales.

oumpapah2 · January 2007

Re

je poursuis ma quete

il existe une infinite de solutions rationnelles avec des u,v,w rationnels
et donc des solutions entieres vu l'homogénéité..

( j'en ai explicité en imposant à u,v,w d'etre en progression aruthmetiques
mais avec x,y,z non tous de meme signe , ce qui m'ennuie pour ce que je recherche : des triangles remarquables à cotes entiers et d'autres ingredients
lies egalement.)

Oump

oumpapah2 · January 2007

Bonsoir

avec u=7.73 = 511; v=7.65= 455 ; w=7.57= 399

on a comme solution

x=195 ; y=264 ; z= 325

( l'autre solution n'est pas entiere ni rationnelle)

geometriquement

soit le triangle ABC ayant pour longueurs des cotes BC=u; CA=v; AB=w

ses angles sont inferieurs à 120°

soit T le point de toricelli : point interieur au triangle d'ou l'on voit les cotes sous un angle de 120°( point minimisant la somme des distances de M aux sommets)

on a alors TA=x ; TB=y et TC=z

et voila un triangle remarquable ( et de plus ses cotes sont en progression arithmetique)

il en existe une infinite de ce type que je sais caracteriser

Oump.

oumpapah2 · January 2007

Bonsoir

pour remonter le fil ..et relancer (pour ceux , qui interessés, n'ont pas abouti.)

sans donner le raisonnement qui conduit au résultat

voici les formules donnant les solutions

on veut donc resoudre (dans R)

x²+xy+y²=u²
y²+yz+z²=v²
z²+zx+x²=w² ( u,v,w strictement positifs)

on montre qu'il existe des solutions si et seulement si

la quantite A=2(u²v²+v²w²+w²u²)-(u^4+v^4+w^4) est positive ou nulle
cette quantité n'est autre que (u+v+w)(-u+v+w)(u-v+w)(u+v-w)
elle est positive ou nulle donc ,si et seulement si ,il existe un triangle de cotes de longueur u, v, w

en posant A=3b² et en definissant a>0 par 3a²-2b=u²+v²+w² (noter qu'on a deux valeurs pour b)

on a : x=(1/3a).(a²-2u²+v²+w²)
y=(1/3a).(a²+u²-2v²+w²)
z=(1/3²).(a²=u²+v²-2w²)

vous pourrez tester avec u=3, v=5, w=7
choix non innocent, ce triangle a une particularité..
vous pourrez aussi tester l'exemple que j'ai donné avec u,v,w en progression arithmetique.
vous aurez certainement note la situation geometrique qui m'a fait poser le pb du systeme à résoudre..

il vous reste , (si ça vous interesse!) du grain à moudre pour justifier les resultats annoncés!
( je ne les ai jamais rencontres, mais il y a peu de chance qu'ils soient originaux! ils le sont pour moi ce qui est l'essentiel y ayant pris du plaisir)

Oump.

Anselme-Olivier · January 2007

Bonsoir Oump,

Je trouve tout ça très joli et riche de développements.

Comme beaucoup d'autres sujets d'ailleurs sur ce forum,
(je pense par exemple aux résultats non familiers de Khaled sur le triangle de Pascal).
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,320294,345313 [Ajouté lien. AD]

Anselme-Olivier.

AD · January 2007

Message déplacé
Alain

Re: 2007 est-il un nombre brésilien? Nouveau
Envoyé par: oumpapah (--.abo.wanadoo.fr)
Date: dim 21 janvier 2007 10:09:23

Pour bs ( et autres amateurs : Olivier, Domi, Galax, GG, gb, Bisam and so on)

je rappelle le système à resoudre et discuter(dans R)
inconnues x,y,z
données u,v,w >0

x²+xy+y²=u²
y²+yz+z²=v²
z²+zx+x²=w²

question supplémentaire : on suppose u, v, w entiers
peut on avoir x,y,z entiers?

( par exemple avec u=511, v=455, w=399

on a comme solution en nbs positifs

x=195, y=264, z=325

géométriquement: soit T le point de torricelli du triangle ABC tel que

AB=w, BC=u, CA=v

alors AT=x, BT=y, CT=z;

vous voyez alors d'ou provient lidée du système initial proposé.

(ce système initial a des solutions ssi u,v,w sont les cotés d'un triangle
et on a alors deux solutions essentielles ( en imposant x>=0) )

Autre pb soumis à votre réflexion ( niveau lycée ou L1)

on appelle triangle pseudo-rectangle ( ou hyperbolique?)un triangle dont deux des angles diffèrent de Pi/2

explication du nom: si on appelle H l'hyperbole équilatere d'equation

X²-Y²=a²

de sommets S' et S , alors si M est un point de H , le triangle S'SM est pseudo rectangle.(propriété bien connue)

expliciter un polynome homogène du 4eme degré f(x,y,z) tel que

f(x,y,z)=0

caractérise les triangles (x,y,z) hyperboliques.

enfin resoudre l'équation diophantienne f(x,y,z)=0

( par ex solution AB=20 AC=15 BC=7
on a cos(B)=4/5 et cos(C)=-3/5

il y a un bon theme pour les terminales maths spe..(n'est ce pas olivier?)

enfin pour terminer:(facile , niveau lycée)

en appelant triangle indien (pourquoi pas ?),un triangle dont un des angles vaut 2Pi/3), résoudre l'équation diophantienne les caractérisant à cotés entiers

i.e. résoudre en entiers : x²+xy+y²=z² (xyz#0)

plus petite solution: (3,5,7)

en prenant trois triangles (3,5,7) et les triangles (3,3,3), (5,5,5), (7,7,7)

assembler les pour faire un magnifique parallelogramme qui merite un dessin

( si une bonne ame pouvait expliquer comment les réaliser ici, je me sentirais moins bete !)

Oump.

bs · January 2007

Bonjour Oump,

Je n'avais pas remarqué ce fil, m'étant absenté une semaine.

Concernant les triangles pseudo-rectangles, ta question tourne autour du sujet Concours Général 2002:
\lien{http://www.animath.fr/cg/cg_02.pdf}

Je lis les autres sujets à explorer.
Amicalement.

Domi · January 2007

Désolé Oumpapah, peu de temps à consacrer à ton problème.

Pour insérer une image, j'utilise le logiciel "déclic" que tu peux télécharger gratuitement.
http://emmanuel.ostenne.free.fr/
Après une heure d'utilisation, j'avais en main la plupart des commandes et pourtant ...

Domi

oumpapah2 · January 2007

merci Domi

l'essentiel est dit: je vais télécharger "declic" et essayer de m'en servir.

pour le reste il faut bien dire que le systeme initial est assez coriace et il m'a donné du mal ,pour la résolution générale et pour la recherche de solutions entieres ..cela explique peut etre le manque de réponses!
éventuellement je pourrai donner plus de détails pour la résolution pour ceux qui le désireraient.

Oump.

Domi · January 2007

Comme tu le dis , Oumpapah , le système de départ n'est pas évident , un changement de variable astucieux doit sûrement en venir à bout mais je n'ai pas beaucoup de temps libre en ce moment et si le rapport avec les triangles est logique et tentant , je ne peux pas y pas y consacrer plus de temps . Je suivrais quand même le fil avec plaisir et à l'occasion ...

Amicalement , Domi

galax · January 2007

Bonsoir Oumpapah,

Dans le livre de Dickson : Histoiry Of The Therory Of Numbers, vol II pages 511 à 513
http://www.archive.org/details/HistoryOfTheTheoryOfNumbersVolII
on peut lire quelques remarques à propos de ton système.
Qu'en penses-tu ?

Sincèrement,
Galax

GeorgesZ2 · January 2007

Bonjour Claude,
j'avais résolu ton système en posant s=x+y+z puis y=x+a et z=x+b obtenant, lorsque s/=0, les solutions que tu as données (pour les réels).

J'ai un peu cherché des solutions entières et je n'ai pas su faire...Bravo pour en avoir trouvé!

L'équation diophantienne x^2+xy+y^2=z^2 est connue...

J'attendais que d'autres plus futés, comme notre ami Borde entre autres, interviennent...

Bonne année, avec toute mon amitié,
Georges

oumpapah2 · January 2007

bonjour Georges et ..bonne année

oui, je suis surtout satisfait d'avoir trouvé une famille de solutions entieres
( sans etre sur de les avoir toutes trouvées d'ailleurs).
pour le systeme j'ai utilisé les fonctions symetriques de x,y,z et effectué une transformation d'equations..)

bien sur l'équation annexe x²+xy+y²=z² est facile à etudier ( faisable en terminale ).

on peut aussi caracteriser les premiers p tels que p=x²+xy+y²
(hormis 3 ce sont les premiers de la forme 6k+1 ; c'est l'occasion d'etudier, l'anneau Z[j] qui est euclidien pour le stathme qu'on devine
et qui nous change de Z )

et du coup on a la forme des entiers z s'écrivant x²+xy+z² bien sur.

Amitiés
Claude.

bs · January 2007

Bonjour Oump,

D'abord, merci d'enrichir ainsi ma collection de triangles remarquables, et d'enrichir également le débat sur les nombres brésiliens..

concernant le système :
x²+xy+y²=w²
y²+yz+z²=u²
z²+zx+x²=v² , dans lequel:

AB=w, BC=u, CA=v et AT=x, BT=y, CT=z , où T est le point de Torricelli;

Ce système est obtenu en écrivant que les angles ATB=BTC=CTA=$2 \pi / 3$ dans chaque triangle, puis AL-Kashi.
Ta quantité A est égale à :$16p(p-u)(p-v)(p-w) = 16 S^2$ où $p,S$ sont respectivement le demi-périmètre et l'aire du triangle ABC.

Rappel: si d=TA+TB+TC, alors:
$$d^2= \frac{u^2+v^2+w^2}{2} +2 \sqrt{3p(p-u)(p-v)(p-w)}$$

Maintenant, comment obtenir les solutions dans $ \N$ ?

Je repasserai pour les deux autres items que tu développes.

Merci.

oumpapah0 · January 2007

Bonjour Galax

apres avoir pu faire defiler tous les fichiers htlm issus de ton lien , arrivé vers les pages interessantes plus rien ne se charge ..je réessaierai plus tard ..je n'avais jamais eu l'occasion de regarder l'ouvrage de dickson ..c'est une véritable bible! et qui peut faire gagner du temps .
si tu pouvais succintement nous dire les resutats essentiels sur ce systeme ce serait épatant. merci par avance.
A+

pour Bs:
l'origine du systeme est ce que tu as vu bien sur, mais il reste posé meme si l'un des angles d'un triangle u,v,w est superieur à 120°.
je vais me remettre à ce systeme,qui ( je m'en doutais un peu!) avait deja retenu l'attention au 19 eme siecle, surtout pour explorer ses solutions rationnelles( ce qui suffit vu le caractere homogene pour avoir les solutions entieres)

Oump.

GeorgesZ2 · January 2007

Bonjour Claude,
ma démo semble être différente de la tienne.

Les données u,v,w sont dans N. On pose s=x+y+z et le système (que l'on résoud dans R) équivaut à :

(x-z)s=w^2-u^2
(y-x)s=u^2-v^2
x^2+xy+y^2=w^2

On pose y=x+a et z=x+b, donc x=(s-a-b)/3.

A) Si s=0, alors u=v=w et 3x^2+3xa+a^2-u^2=0 donc,
si de plus |a|<=2u, eps=+-1, on a la solution :

(-3a+eps*sqrt(3(4u^2-a^2)))/6, (-2a+eps*sqrt(3(4u^2-a^2)))/6, (5a-2*eps*sqrt(3(4u^2-a^2)))/6).

Supposons maintenant s/=0. Le système équivaut alors à :

b=(u^2-w^2)/s
a=(u^2-v^2)/s (donc x=(s^2-2u^2+v^2+w^2)/(3s))
w^2=x^2+xy+y^2=3x^2+3xa+a^2
=(s^2-2u^2+v^2+w^2)^2/(3s^2)+(s^2-2u^2+v^2+w^2)(u^2-v^2)/s^2+ (u^2-v^2)^2/s^2

Donc, si l'on a une solution s^2>0, de :

(1) s^4-(u^2+v^2+w^2)s^2+ u^4+v^4+w^4-u^2v^2-v^2w^2-w^2u^2=0

alors on a la solution :
(x,y,z)=((s^2-2u^2+v^2+w^2)/(3s), (s^2+u^2-v^2+w^2)/(3s), (s^2+u^2+v^2-2w^2)/(3s)).

Le discriminant de (1) est :
delta=(u^2+v^2+w^2)^2-4(u^4+v^4+w^4-u^2v^2-v^2w^2-w^2u^2)
=3(2(u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2)-(u^4+v^4+w^4))

Donc il existe s^2= ((u^2+v^2+w^2)+sqrt(delta))/2>0, si (u^2+v^2+w^2)>0 et 2(u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2)>=(u^4+v^4+w^4)

et, si de plus (u^4+v^4+w^4)>(u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2), on a aussi s^2= ((u^2+v^2+w^2)-sqrt(delta))/2>0.

Donc, si s/=O, on a O solution ou une solution ou 2 solutions.

Amicalement,
Georges

bs · January 2007

Rebonjour,

---> Oump: concernant l'interprétation géométrique, avec le triangle ABC,de côtés u,v,w, quand A >= 120°. [je reprends tes notations]

1) si A= 120°: alors T=A, puis
TA=x=0; BT=y=w; CT=z=v
et ton système initial accepte cette solution:(x=0, y=w, z=v),car v²+vw+w²=u²

2) si A>120°: alors T=A, puis
TA=x=0; BT=y=w; CT=z=v
et là,ton système initial ne peut plus accepter cette solution "géométrique" :(x=0, y=w, z=v) car v²+vw+w²=u² n'a plus de raison d'être vérifié.

---> Bonjour Georges, suite à l'équation diophantienne $a^3+b^3=c^4$, tu avais trouvé d'autres solutions que celles proposées par le livre "Ingenious"; elles conviennent effectivement , mais il y a un passage de ta démonstration que je n'ai pas comprise: puis-je faire remonter ce sujet ? merci.

Amicalement.

GeorgesZ2 · January 2007

Bonjour bs,
"puis-je faire remonter ce sujet ? merci."

fais-le, en précisant ce que tu ne comprends pas, j'éssayerai de te répondre.

Amicalement,
Georges

galax · January 2007

bonjour oumpapah,

Voici une de méthode décrite au sujet de ton système dans le livre de Dickson
(D.S. Hart 1874)
x²+xy+y² est un carré si x= m²- n² et y =2mn +n²
( et on constate qu'effectivement x²+xy+y² = ( m² +mn + n²)² )
x²+xz+z² est un carré pour z= x(2pq+q²)/(p²- q²)
( et on constate qu'effectivement x²+xz+z² = (x(p²+pq+q²)/(2pq-q²))² )
En prenant m=2, n=1, p= r +q/2, y²+yz +z² est un carré si r=7q/4, p= 9q/4.

Une solution obtenue par cette méthode est 195, 325, 264.

Sincèrement,

Galax

PS j'ai envoyé sur ton e-mail une méthode: comment ouvrir des fichiers en cas de problèmes, j'espère que cela a marché sur ton ordinateur.
le texte en italique n'est pas dans le texte de Dickson

oumpapah2 · January 2007

Bonjour

pour georges,

ma demo est à mi chemin de la tienne et d'une purement symetrique ;
je l'ai reprise en respectant la vision transformée d'equation
vite fait

soit T^3 -aT² +bT-c le polynome dont les racines sont x,y,z
et U^3 -dU² +eU -d celui dont les zeros sont u²,v²,w²

pour faire vite etudions le cas général ou a non nul et c non nul

si x²+xy+y²=w² en fait (z-a)²-c/z =w²
ce qui s'ecrit , compte tenu de z^3-az²+bz-c=0 soit z²-az+b-c/z=0,

az -(a²-b)=w²
on a alors immediatement les expressions de x,y,z

en utilisant l'equation en U a partir du remplacement dans l'equation en T de T par U= aT-(a²-b)
les calculs se font tres bien et on recupere a et b en fonction de d et e

2a²-3b=d (bien sur!) et a^4-3a²b+3b²=3e
d'ou a^4-a²d+d²-3e =0
le discriminant est positif ssi 4e-d² l'est , ce qui nous donne bien
2(u²v²+v²w²+w²u²)-u^4-v^4-w^4 >=0
etc.
j'ai trouvé la démarche interessante.

ensuite pour Galax (et georges ,bs ,domi and co..)

en ce qui concerne des solutions entieres, en voici une famille à un parametre
obtenues à partir de u, v, w en progression arithmetique( on les cherche rationnelles , ce qui suffit vu l'homogénéité)

on pose u=m²+n²-mn ; v= m²+n², w=m²+n²+mn
et p²=3m²+ 4n²
on a alors
x=(1/p)(m²+n²)(m+2n)
y=(1/p)( m)(m²+2n²)
z= (1/p)(m²+n²)(m-2n)
pour avoir tout rationnel , il suffit de prendre m,n rationnels et tels que

p le soit aussi
par ex on prend m=4t et 2n=3-4t² avec t rationnel et on a p=3+4t²

naturellement j'ai fait un test en prenant t=1 et ..oh surprise je tombe sur
x=195/28 , y=264/28 , z= 325/28
d'ou le triplet entier (195,267,325) soit exactement celui que , galax tu m'as rapporté du Dickson..)

au sujet de la methode , j'ai essayé de les avoir toutes en partant du fait que
X²+XY+Z² est un carre ssi X/(s²-1) = y/(2s+1)
j'arrive ainsi à remplir le contrat pour les deux premieres équations mais ai buté pour avoir la troisiéme, je ne dois pas etre le seul puisque Hart s'est contenté d'un ex pour avoir la troisieme et qui curieusement donne le meme resultat que le mien
la clef est la recherche des points rationnels (X,Y,Z)
tels que XYZ=1 et (X²-1)(Y²-1)(Z²-1)-(2X+1)(2Y+1)(2Z+1)=0
leur connaissance equivaut à la recherche des solutions entieres de notre pb initial.

merci galax, de ton courriel, qui helas a disparu malencontreusement parmi une vingtaine de courriers indésirables supprimés !(scuzi); mais , j'ai réussi à telecharger des pages du Dickson avec cependant un phénomène désagréable : ce sont des fichiers htlm guere lisibles par ex un + est représenté par ? ( cas le plus simple!) Peut on les faire passer en pdf? ( j'avoue etre tres ignorant en info)

j'espere n'avoir pas trop bugué ,je vais passer à autre chose ,mais ai passé un moment agréable avec ces systemes.;);)

Oump.

galax · January 2007

bonjour oumpapah,

je viens t'envoyer une copie du courrier perdu.

Sincèrement,

Galax

un système non linéaire intéressant

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