longueur d'arc et courbure
dans Géométrie
Bonjour
Cet exercice me pose problème :
On appelle indicatrice sphérique l'application suivante à valeur dans la sphère unité: $$t \longmapsto \frac{u'(t)}{||u'(t)||}$$ avec $u$ paramétrage d'une courbe $\mathcal C$
Montrer que la valeur absolue de la courbure est égale au quotient de la longueur d'arc de l'indicatrice sphérique par la longueur d'arc de $u$.
Déterminer l'image de l'indicatrice sphérique lorsque $\mathcal C$ est une droite, une courbe plane, une hélice circulaire.
Merci pour vos indications
[Traduction en $\LaTeX$.
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Cet exercice me pose problème :
On appelle indicatrice sphérique l'application suivante à valeur dans la sphère unité: $$t \longmapsto \frac{u'(t)}{||u'(t)||}$$ avec $u$ paramétrage d'une courbe $\mathcal C$
Montrer que la valeur absolue de la courbure est égale au quotient de la longueur d'arc de l'indicatrice sphérique par la longueur d'arc de $u$.
Déterminer l'image de l'indicatrice sphérique lorsque $\mathcal C$ est une droite, une courbe plane, une hélice circulaire.
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Réponses
Il me semble que je t'avais déjà donné les méthodes pour ce genre de calcul :
Puisque l'indicatrice sphérique est paramétrée par $t \mapsto \vec{T}$, la longueur d'arc $\sigma$ satisfait à $\dfrac{d\sigma}{dt} = \left\| \dfrac{d\vec{T}}{dt} \right\| = \left\| \dfrac{d\vec{T}}{ds}\dfrac{ds}{dt} \right\| = |k|\dfrac{ds}{dt}$ et le résultat demandé.
Pour une droite $\vect{T}$ est constant : l'indicatrice sphérique est un point.
Pour une courbe plane, je ne vois pas ce que l'on peut dire d'autre que $\vec{T}$ est "dans" le plan de la courbe, de norme 1 : l'indicatrice sphérique est, dans le plan parallèle à celui de la courbe passant par l'origine, un arc de cercle centré à l'origine, de rayon 1.
Pour une hélice circulaire, tu considères un paramétrage, par exemple : $x = R \cos t$, $y = R \sin t$, $z = ht$.
Tu calcules $u'(t)$ puis $\dfrac{u'(t)}{\|u'(t)\|}$ et tu dois trouver un cercle dans le plan d'équation $z = \dfrac{h}{\sqrt{R^2 + h^2}}$, centré sur l'axe Oz, de rayon $\dfrac{R}{\sqrt{R^2 + h^2}}$ (c'est évident géométriquement...).
Je ne comprends pas bien ta racine qui sont R et h
Merci
> C'est vrai mais je n'ai pas le réflexe de penser à
> introduire Frenet quand on n'a pas un paramétrage
> par abscisse curviligne directement alors qu'en
> fait la divison par la norme nous le permet.
C'est justement là qu'est le "truc" : les "formules théoriques" supposent un paramétrage par abscisse curviligne ; les "calculs pratiques" se mènent en fonction du paramètre (souvent $t$) donné par l'énoncé, ou choisi lors de la solution (comme pour l'hélice circulaire dans ton exo).
Le réflexe à acquérir est donc de transformer systématique les relations du cours, genre formule de Frénet, en formules praticables avec le paramètre réellement utilisé.