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longueur d'arc et courbure

Envoyé par romanticide 
longueur d'arc et courbure
il y a huit années
Bonjour

Cet exercice me pose problème :
On appelle indicatrice sphérique l'application suivante à valeur dans la sphère unité: $$t \longmapsto \frac{u'(t)}{||u'(t)||}$$ avec $u$ paramétrage d'une courbe $\mathcal C$

Montrer que la valeur absolue de la courbure est égale au quotient de la longueur d'arc de l'indicatrice sphérique par la longueur d'arc de $u$.
Déterminer l'image de l'indicatrice sphérique lorsque $\mathcal C$ est une droite, une courbe plane, une hélice circulaire.

Merci pour vos indications

[Traduction en $\LaTeX$. :) AD]
gb
Re: longueur d'arc et courbure
il y a huit années
avatar
C'est un vieil exo de cours : on a $\dfrac{u'(t)}{\|u'(t)\|} = \vec{T}$ premier vecteur de Frenet de $C$, et la courbure $k$ est donnée par $\dfrac{d\vec{T}}{ds} = k\vec{N}$.
Il me semble que je t'avais déjà donné les méthodes pour ce genre de calcul :
Puisque l'indicatrice sphérique est paramétrée par $t \mapsto \vec{T}$, la longueur d'arc $\sigma$ satisfait à $\dfrac{d\sigma}{dt} = \left\| \dfrac{d\vec{T}}{dt} \right\| = \left\| \dfrac{d\vec{T}}{ds}\dfrac{ds}{dt} \right\| = |k|\dfrac{ds}{dt}$ et le résultat demandé.

Pour une droite $\vect{T}$ est constant : l'indicatrice sphérique est un point.

Pour une courbe plane, je ne vois pas ce que l'on peut dire d'autre que $\vec{T}$ est "dans" le plan de la courbe, de norme 1 : l'indicatrice sphérique est, dans le plan parallèle à celui de la courbe passant par l'origine, un arc de cercle centré à l'origine, de rayon 1.

Pour une hélice circulaire, tu considères un paramétrage, par exemple : $x = R \cos t$, $y = R \sin t$, $z = ht$.
Tu calcules $u'(t)$ puis $\dfrac{u'(t)}{\|u'(t)\|}$ et tu dois trouver un cercle dans le plan d'équation $z = \dfrac{h}{\sqrt{R^2 + h^2}}$, centré sur l'axe Oz, de rayon $\dfrac{R}{\sqrt{R^2 + h^2}}$ (c'est évident géométriquement...).
Re: longueur d'arc et courbure
il y a huit années
C'est vrai mais je n'ai pas le réflexe de penser à introduire Frenet quand on n'a pas un paramétrage par abscisse curviligne directement alors qu'en fait la divison par la norme nous le permet.
Je ne comprends pas bien ta racine qui sont R et h
Merci



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par AD.
gb
Re: longueur d'arc et courbure
il y a huit années
avatar
$R$ et $h$ sont respectivement le rayon et le pas de l'hélice circulaire...
Re: longueur d'arc et courbure
il y a huit années
désolé le message ne s'était pas affiché en entier
gb
Re: longueur d'arc et courbure
il y a huit années
avatar
romanticide Écrivait:
-------------------------------------------------------
> C'est vrai mais je n'ai pas le réflexe de penser à
> introduire Frenet quand on n'a pas un paramétrage
> par abscisse curviligne directement alors qu'en
> fait la divison par la norme nous le permet.

C'est justement là qu'est le "truc" : les "formules théoriques" supposent un paramétrage par abscisse curviligne ; les "calculs pratiques" se mènent en fonction du paramètre (souvent $t$) donné par l'énoncé, ou choisi lors de la solution (comme pour l'hélice circulaire dans ton exo).
Le réflexe à acquérir est donc de transformer systématique les relations du cours, genre formule de Frénet, en formules praticables avec le paramètre réellement utilisé.
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